Lingkaran merupakan bangunan yang terbentuk dari garis lengkung yang dua ujungnya berjarak sama dari titik tetap (titik pusat lingkaran) bangunan tersebut. Nah, persamaan lingkaran ini dipelajari untuk menentukan jangkauan maksimum dalam lingkaran.
Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga masih tetap sehat dan tambah semangat belajar ya. Jika membaca kata lingkaran, hal apa yang ada di benak Quipperian? Pasti terlintas Matematika, ya? Benar saja Quipperian, lingkaran menjadi bahasan hangat di dunia Matematika karena bentuknya yang unik.
Dalam kehidupan sehari-hari pun Quipperian tidak bisa lepas dari lingkaran lho, misalnya saja roda sepeda, gelang, anting, permukaan gelas, dan masih banyak lainnya. Tidak hanya itu, jika Quipperian pernah melihat outputkinerja radar, posisi objek yang diamati pasti akan ditampilkan dalam bentuk lingkaran dengan titik-titik koordinat tertentu.
Nah, kira-kira bagaimana cara menentukan jangkauan maksimum radar? Untuk menentukannya, Quipperian cukup belajar tentang persamaan lingkaran, seperti yang akan dibahas oleh Quipper Blog kali ini.
Pengertian Lingkaran
Menurut Quipperian, lingkaran itu apa sih? Lingkaran itu adalah garis lengkung yang kedua ujungnya berjarak sama dari titik tetap bangun tersebut. Titik tetap yang dimaksud adalah titik pusat lingkaran, sedangkan jarak antara ujung lingkaran dan titik pusat disebut jari-jari lingkaran.
Persamaan Umum Lingkaran
Persamaan umum lingkaran bisa Quipperian tentukan dengan sangat mudah. Perhatikan gambar berikut.
Sumber: Quipper Video
Gambar di atas menunjukkan bahwa terdapat suatu lingkaran yang berpusat di titik C dengan koordinat (a,b) dan berjari-jari r. Jari-jari merupakan jarak antara titik C dan P. Misalkan titik P(x,y) terletak di keliling lingkaran, sehingga jarak titik P ke pusat lingkaran dirumuskan sebagai berikut.
Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat C(a,b) dan jari-jari r.
Jika dijabarkan lebih lanjut, persamaan di atas akan menjadi:
Nah, persamaan (1) di atas merupakan persamaan umum lingkaran, dengan:
Dengan demikian, pusat dan jari-jari lingkarannya dinyatakan sebagai berikut.
Titik pusat lingkaran
Jari-jari lingkaran
Untuk mengasah kemampuan Quipperian tentang Persamaan Umum Lingkaran, simak contoh soal berikut ini ya!
Contoh Soal 1
Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y!
Pembahasan:
Pertama-tama, Quipperian gambarkan dahulu grafik lingkarannya, yaitu berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y!
Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat (-3,4) dengan jari-jari 3, sehingga diperoleh:
Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y adalah
Pada beberapa kasus, jari-jari lingkarannya tidak diketahui, tetapi garis singgungnya diketahui. Lantas bagaimana menentukan jari-jari lingkarannya? Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan bahwa garis singgung dengan persamaan px+ qy+ r= 0 menyinggung lingkaran yang berpusat di C(a,b). Untuk jari-jarinya bisa Quipperian tentukan dengan persamaan berikut.
Agar Quipperian lebih paham tentang hubungan antara lingkaran beserta garis yang menyinggungnya, simak contoh soal 2 berikut ini.
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,1) dan menyinggung garis 3x– 4y+ 4 = 0!
Pembahasan:
Jika diketahui pusat lingkaran (a,b) = (5,1) dan garis singgung lingkarannya 3x– 4y+ 4 = 0, maka jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.
Dengan demikian, persamaan umum lingkarannya adalah sebagai berikut.
Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,1) dan menyinggung garis 3x– 4y+ 4 = 0 adalah
Hubungan Dua Buah Lingkaran
Sebelumnya, Quipperian sudah belajar tentang titik pusat, jari-jari, serta persamaan umum untuk satu buah lingkaran. Bagaimana jadinya jika lingkarannya ada dua?
Misalnya, dua buah lingkaran L1dengan pusat C1, jari-jari r1dan lingkaran L2dengan pusat C2, jari-jari r2memiliki hubungan sebagai berikut.
1. L1 bersinggungan dalam dengan L2
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, berlaku:
2. L1 bersinggungan luar dengan L2
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, berlaku:
3. L1 di dalam L2 tanpa bersinggungan
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, berlaku:
4. L1 saling lepas dengan L2
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, berlaku:
5. L1 berpotongan dengan L2
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, berlaku:
Kelihatannya rumit ya Quipperian, tetapi jangan khawatir karena Quipper Blog akan memberikan SUPER “Solusi Quipper” untuk mengingat hubungan antara dua buah roda.
Ini dia SUPERnya!
Tidak hanya itu, SUPER juga akan hadir untuk membantu Quipperian dalam mengingat jarak pusat C1C2, lho.
Apakah Quipperian sudah paham tentang hubungan antara dua buah lingkaran? Jika belum, coba simak contoh soal 3 berikut ini ya!
Contoh Soal 3
Tentukan hubungan antara lingkaran
Pembahasan:
Pertama-tama, Quipperian harus mencari pusat dan jari-jari kedua lingkaran tersebut.
Jika ditinjau, lingkaran
Jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.
Jika ditinjau, lingkaran
Jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.
Setelah itu, Quipperian bisa menentukan nilai
Oleh karena 10 < √164 < 18, maka lingkaran L1berpotongan dengan lingkaran L2.
Jadi, hubungan antar kedua lingkaran pada soal adalah saling berpotongan.
Setelah membaca ulasan tentang persamaan lingkaran di atas, apakah Quipperian sudah semakin paham? Pada dasarnya, banyak penerapan yang bisa Quipperian gali setelah belajar tentang persamaan lingkaran ini, contohnya deteksi jangkauan radar, menentukan persamaan garis singgung pada hubungan roda-roda, menentukan persamaan lintasan pesawat tempur, dan masih banyak lainnya.
Jika Quipperian masih ingin mempelajari persamaan lingkaran secara intensif, silahkan gabung dengan Quipper Video, ya. Selamat belajar dengan tutor-tutor kece Quipper Video dan temukan ratusan soal di dalamnya.
Sumber:
Penulis: Eka Viandari