Hai Quipperian, sebelum berangkat sekolah, pasti kamu bercermin dulu kan? Tahukah kamu jika pada cermin berlaku peristiwa refleksi atau pemantulan, lho. Jarak antara bayangan dan cermin pasti akan sama dengan jarakmu dan cermin. Tidak percaya, cobalah untuk menjauh dari cermin, pasti bayangan yang terlihat akan semakin kecil. Nah, di dalam Matematika, peristiwa refleksi ini termasuk salah satu transformasi geometri. Lalu, apa yang dimaksud transformasi geometri? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Transformasi Geometri
Transformasi berarti perubahan dan geometri berkaitan dengan suatu bangun, garis, titik, dan pengukurannya. Transformasi geometri adalah perubahan posisi dan ukuran suatu benda atau objek pada bidang geometri seperti garis, titik, maupun kurva.
Oleh karena berkaitan dengan garis dan titik, maka transformasi geometri ini bisa dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius maupun matriks.
Contoh transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah saat kamu bercermin dan bayanganmu terlihat jelas pada cermin tersebut.
Jenis-Jenis Transformasi Geometri
Transformasi geometri dibagi menjadi empat jenis, yaitu translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Apa perbedaan keempat jenis transformasi tersebut? Berikut ini ulasannya!
Translasi
Translasi adalah perpindahan posisi suatu objek. Jika dinyatakan dalam koordinat Cartesius, translasi merupakan perpindahan titik-titik koordinat suatu objek ke arah dan jarak tertentu. Pada peristiwa translasi ini, ukuran objek tidak mengalami perubahan ya.
Persamaan umum translasi
Jika titik P yang memiliki koordinat (x, y) ditranslasikan sejauh (a, b), akan dihasilkan titik P’ dengan koordinat (x’, y’). Secara matematis, koordinat akhir pada proses translasi dinyatakan sebagai berikut.
Dengan :
P(x, y) = koordinat titik awalnya;
a = pergeseran pada sumbu-x;
b = pergeseran pada sumbu-y; dan
P((x+a), (y+b)) = koordinat akhir setelah pergeseran.
Contoh translasi
Jika pergeseran mengarah ke sumbu-x positif atau sumbu-y positif, maka pergeserannya bertanda positif. Sebaliknya, jika pergeserannya mengarah ke sumbu-x negatif atau sumbu-x negatif, maka pergeserannya bertanda negatif.
Adapun contoh translasi bisa kamu lihat pada gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan bahwa suatu bangun persegi ABCD mengalami translasi atau pergeseran hingga berada di posisi persegi A’B’C’D’. Lalu, berapakah pergeseran atau perpindahan bangunnya? Untuk tahu jumlah pergeserannya, coba hitung jarak satuan antara bangun ABCD dan A’B’C’D ke arah sumbu-x dan sumbu-y.
Dari hasil pengamatan, diperoleh bahwa bangun persegi ABCD bergeser 5 satuan ke arah sumbu-x positif (a = 5) dan 5 satuan ke arah sumbu-y negatif (b = -5).
Setelah tahu pergeserannya, tentukan dahulu koordinat awal setiap titik pada persegi seperti berikut.
- Koordinat A = (-3,4)
- Koordinat B = (-1, 4)
- Koordinat C = (-3, 2)
- Koordinat D = (-1, 2)
Terakhir, tentukan koordinat akhir persegi tersebut menggunakan persamaan translasi.
Koordinat akhir bangun persegi A’B’C’D’.
Ternyata, diperoleh koordinat akhir yang sama kan dengan gambar? Sebenarnya, kamu bisa langsung mengetahui koordinat akhir melalui gambarnya. Namun, pada kesempatan ini Quipper Blog ingin menunjukkan aplikasi persamaan translasi pada soal. Nah, jika kamu menjumpai soal-soal translasi, gunakan persamaan tersebut untuk menentukan titik koordinat akhir suatu objek.
Refleksi
Refleksi atau pencerminan adalah perpindahan titik suatu objek pada bidang sesuai dengan sifat pembentukan bayangan pada cermin datar. Pada prinsipnya, refleksi hampir sama dengan translasi, yaitu pergeseran. Hanya saja, pada refleksi memiliki sifat-sifat tertentu sedemikian sehingga posisi akhir objeknya merupakan hasil pencerminan objek awalnya.
Sifat-sifat refleksi
Oleh karena pembentukan bayangan pada refleksi sama dengan pembentukan bayangan cermin, maka sifat-sifatnya pun juga sama dengan sifat-sifat bayangan cermin. Adapun sifat-sifat refleksi atau pencerminan adalah sebagai berikut.
- Jarak antara titik awal objek ke cermin sama dengan jarak titik akhir objek ke cermin.
- Garis penghubung antara objek awal dan akhirnya selalu tegak lurus cermin. Jika dicerminkan terhadap sumbu-x, maka garis penghubungnya tegak lurus terhadap sumbu-x. Jika dicerminkan terhadap sumbu-y, garis penghubungnya juga tegak lurus terhadap sumbu-y.
- Sumbu-x atau sumbu-y dianalogikan sebagai cermin atau pusat refleksi.
Persamaan umum refleksi
Refleksi bisa dilakukan terhadap sumbu-x maupun sumbu-y. Pada refleksi ini, sumbu-x atau sumbu-y bisa dianalogikan sebagai cermin. Persamaan umum refleksi dinyatakan sebagai berikut.
Refleksi terhadap sumbu-x
Jika direfleksikan terhadap sumbu-x, maka koordinat y’ merupakan lawan dari koordinat y dengan koordinat x tetap. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut.
Dengan :
P(x, y) = titik koordinat awal
P’(x, -y) = titik koordinat akhir
Mx = matriks pencerminan terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Jika direfleksikan terhadap sumbu-y, maka koordinat x’ merupakan lawan dari koordinat x dengan koordinat y tetap. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut.
Dengan :
P(x, y) = titik koordinat awal
P’(-x, y) = titik koordinat akhir
My = matriks pencerminan terhadap sumbu-y
Selain direfleksikan terhadap sumbu-x dan sumbu-y, suatu objek juga bisa direfleksikan terhadap garis, meliputi refleksi terhadap garis y = x, garis y = -x, garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini pembahasannya.
Refleksi terhadap garis y = x
Jika suatu titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = x akan dihasilkan koordinat P’ (y, x). Perhatikan gambar berikut.
Refleksi terhadap garis y = -x
Jika suatu titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x akan dihasilkan koordinat P’ (-y, -x). Adapun contoh refleksi terhadap garis y = -x bisa kamu lihat pada contoh berikut.
Refleksi terhadap garis x = h
Jika titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis x = h akan dihasilkan koordinat P’ ((2h – x), y). Perhatikan gambar berikut.
Refleksi terhadap garis y = k
Refleksi titik P (x, y) terhadap garis y = x akan menghasilkan koordinat P’ (x, (2k – y)). Perhatikan gambar refleksi berikut.
Contoh refleksi
Berikut ini merupakan contoh segitiga siku-siku ABC yang direfleksikan terhadap sumbu-y. Artinya, sumbu-y dianggap sebagai cermin atau pusat refleksinya.
Jika dicerminkan terhadap sumbu-y, maka koordinat (x, y) menjadi (-x, y). Untuk membuktikannya, gunakan persamaan refleksi seperti berikut.
Koordinat titik A = (-4, 4)
Koordinat titik B = (-4, 1)
Koordinat titik C = (-2, 1)
Hasil yang diperoleh dari persamaan di atas sesuai dengan hasil pencerminan pada koordinat Cartesius, kan?
Rotasi
Rotasi identik dengan perputaran suatu benda. Sebenarnya, apa rotasi dalam Matematika itu? Rotasi adalah perpindahan titik-titik suatu objek pada bidang geometri dengan cara memutarnya sejauh sudut α.
Oleh karena rotasi termasuk perpindahan, maka arah rotasi mempengaruhi tanda sudutnya. Jika arah rotasi searah dengan putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif.
Sementara itu, jika arah rotasi berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif.
Secara matematis, rotasi dilambanganya sebagai R(P, α), dengan P = pusat rotasi dan α = besarnya sudut rotasi.
Secara umum, rotasi dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut.
Rotasi terhadap titik pusat (0, 0)
Rotasi terhadap titik pusat (0, 0) bisa kamu lihat pada contoh berikut.
Gambar di atas menunjukkan bahwa titik K dirotasi sejauh α melalui titik pusat (0, 0), hingga berada di posisi K’. Secara matematis, persamaan rotasi yang melalui titik pusat dinyatakan sebagai berikut.
Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat (0,0), gunakan persamaan matriks berikut.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.
Jika titik M berada di koordinat (4, -2), lalu titik tersebut dirotasi berlawanan dengan arah putaran jarum jam sejauh 90o terhadap titik pusat (0, 0), tentukan letak bayangannya!
Pembahasan :
Titik M dirotasi sejauh 90o berlawanan dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat (0, 0). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.
Tugas Quipperian adalah menentukan koordinat (x’, y’). Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.
Jadi koordinat M’ = (2, 4).
Rotasi terhadap titik pusat (a, b)
Rotasi tidak harus berpusat di titik (0, 0). Berikut ini merupakan contoh titik yang dirotasi dengan pusat (a, b).
Gambar di atas menunjukkan bahwa titik K dirotasi sejauh α melalui titik pusat (2, 1), hingga berada di posisi K’. Secara matematis, persamaan rotasi yang melalui titik pusat (a, b) dinyatakan sebagai berikut.
Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat (a, b), gunakan persamaan matriks berikut.
Dilatasi
Dilatasi adalah perpindahan titik-titik suatu objek terhadap titik tertentu berdasarkan faktor pengali. Oleh karena ada faktor pengali, maka peristiwa dilatasi ini bisa mengakibatkan perubahan ukuran objek, misalnya diperbesar, diperkecil, atau tetap. Adapun hubungan antara faktor pengali dan ukuran benda adalah sebagai berikut.
- Faktor pengali (k > 1) akan mengakibatkan ukuran objek diperbesar dan searah dengan sudut dilatasi objek awalnya.
- Faktor pengali (k = 1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran atau posisi objek.
- Faktor pengali (0 < k < 1) mengakibatkan ukuran objek diperkecil dan searah dengan sudut dilatasi awalnya.
- Faktor pengali (-1 < k < 0) mengakibatkan ukuran objek diperkecil dan berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
- Faktor pengali (k = -1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran objek, namun arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
- Faktor pengali (k < – 1) mengakibatkan ukuran objek diperbesar dan berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
Secara umum, dilatasi dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut.
Dilatasi terhadap titik pusat (0, 0)
Jika suatu titik M (x, y) mengalami dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dengan faktor pengali k, maka akan dihasilkan koordinat M’ (x’. y’). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.
Titik koordinat M’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.
Contoh dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) adalah sebagai berikut.
Diketahui gambar persegi ABCD pada koordinat Cartesius seperti berikut.
Jika bangun tersebut didilatasi terhadap titik pusat (0,0) dan faktor pengali -2, tentukan hasil bayangannya!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan dahulu koordinat akhir setiap titik pada bangun setelah didilatasi.
Titik A’ → A (1, 2)
Dengan demikian, A’ (-2, -4).
Titik B’ → B (2, 2)
Dengan demikian, B’ (-4, -4).
Titik C’ → C (1, 1)
Dengan demikian, C’ (-2, -2).
Titik D’ → D (2, 1)
Dengan demikian, D’ (-4, -2)
Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, menjadi seperti berikut.
Di soal tertulis bahwa faktor pengalinya = -2. Artinya, ukuran objek akan semakin besar dan arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Bagaimana tahu jika arahnya berlawanan? Coba perhatikan kembali letak titik A’, B’, C’, dan D’. Letak keempat titik itu berlawanan dengan letak titik awalnya, yaitu A, B, C, dan D.
Dilatasi terhadap titik pusat (a, b)
Jika dilatasi titik koordinat M (x, y) dilakukan terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali k, maka akan dihasilkan koordinat M’ (x’. y’). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.
Titik koordinat M’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.
Ukuran dan bentuk objek setelah didilatasi bergantung sepenuhnya pada faktor pengali, ya.
Contoh Soal Transformasi Geometri
Untuk mengasah pemahamanmu, yuk simak contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Jika titik G (2, 5) dicerminkan terhadap garis y = -x, tentukan letak bayangan titik G!
Pembahasan:
Secara matematis, pencerminan titik G bisa dinyatakan sebagai berikut.
Untuk menentukan koordinat G’, gunakan persamaan berikut.
Jadi, koordinat G’ = (-5, -2).
Contoh Soal 2
Diketahui gambar titik H seperti berikut.
Jika titik H dirotasikan sejauh 180o terhadap titik pusat (0, 0), gambarkan posisi akhir titik H’!
Pembahasan:
Berdasarkan gambar pada soal, titik H berada di koordinat (1, 3). Dengan demikian:
Tugas Quipperian adalah menentukan koordinat (x’, y’). Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.
Diperoleh letak koordinat titik H’ (-1, -3). Jika digambarkan, menjadi seperti berikut.
Contoh Soal 3
Titik B (2, -1) didilatasi terhadap pusat (4, 2). Jika faktor pengalinya 2, tentukan koordinat akhir titik B!
Pembahasan:
Secara matematis, titik B dinyatakan sebagai berikut.
Titik koordinat B’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.
Jadi, koordinat B’ = (0, -4)
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!