Jika ada himpunan A = {Tokyo, Bangkok, Seoul}, B = {Thailand, Korea Selatan, dan Jepang}, dan C = {kimchi, pad thai, bulgogi, sushi}, bagaimana ya hubungan antara ketiganya? Himpunan A dan B merupakan fungsi/relasi dan himpunan B dan C adalah relasi. Ingin tahu perbedaan relasi dan fungsi? Check this out!
Pengertian Relasi
Relasi adalah hubungan antara himpunan dari daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain).
Anggota himpunan dari daerah asal dipasangkan dengan anggota himpunan dari daerah kawan sesuai dengan relasinya. Perhatikan contoh berikut.
A = {Tokyo, Bangkok, Seoul}
B = {Thailand, Korea Selatan, Jepang}
C = {kimchi, pad thai, bulgogi, sushi}
Relasi antara himpunan A dan B
R: A -> B = {(Tokyo, Jepang), (Bangkok, Thailand), (Seoul, Korea Selatan)}
Setiap anggota himpunan A tepat berpasangan dengan setiap satu anggota himpunan B, sehingga relasinya disebut sebagai fungsi atau lebih spesifiknya korespondensi satu-satu.
Relasi antara himpunan C dan B
B = {Thailand, Korea Selatan, Jepang}
C = {kimchi, pad thai, bulgogi, sushi}
R: B -> C = {(Thailand, pad thai), (Korea Selatan, kimchi), (Korea Selatan, bulgogi), (Jepang, sushi)}
Hubungan di atas bukanlah fungsi karena ada satu anggota himpunan B yang berpasangan dengan 2 anggota himpunan C, yaitu Korea Selatan yang berpasangan dengan kimchi dan bulgogi. Namun, keduanya masih termasuk relasi.
Contoh relasi dalam kehidupan sehari-hari juga bisa kamu lihat pada silsilah keluarga di mana setiap orangtua bisa memiliki anak lebih dari satu.
Cara Menyatakan Relasi
Relasi bisa dinyatakan dalam beberapa bentuk, yaitu sebagai berikut.
1. Diagram panah
Cara menyatakannya adalah dengan membuat dua bangun yang merepresentasikan domain dan kodomain. Di dalam bangun tersebut diberi tanda berupa titik sebanyak anggota himpunannya.
Lalu, hubungkan titik-titik dari daerah domain menuju titik-titik daerah kodomain menggunakan tanda panah. Perhatikan dua contoh berikut.
Contoh 1
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 4, 9, 16, 25}
Tuliskan dahulu domain serta kodomainnya.
Domain: A = {1, 2, 3, 4}
Kodomain: B = {1, 4, 9, 16, 25}
Relasi: A akar dari B
Model: R: √x -> x2
Bentuk diagram panahnya adalah sebagai berikut.
Daerah hasil atau biasa disebut range = {1, 4, 9, 16}. Untuk 25 tidak termasuk hasil karena tidak memiliki pasangan dari daerah domain.
Contoh 2
P = {2, 3, 4, 5}
Q = {4, 7, 8, 9, 10}
Tuliskan dahulu domain dan kodomainnya.
Domain: P = {2, 3, 4, 5}
Kodomain: Q = {4, 7, 8, 9, 10}
Relasi: A faktor dari B
Coba Quipperian perhatikan dua contoh diagram panah di atas. Adakah perbedaan antara keduanya?
- Pada contoh 1, setiap anggota domain tepat berpasangan dengan satu anggota kodomain secara berurutan. Dengan demikian, diagram panah tersebut menunjukkan suatu relasi yang disebut himpunan pasangan berurutan.
- Sementara itu, pada contoh 2 satu anggota domain ada yang berpasangan dengan dua anggota kodomain. Artinya, diagram panah tersebut hanya disebut relasi.
2. Diagram Cartesius
Selain diagram panah, relasi juga bisa ditulis dalam bentuk diagram Cartesius. Sumbu X menunjukkan daerah domain dan sumbu Ynya daerah kodomain. Perhatikan contoh berikut.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 4, 9, 16, 25}
Tuliskan dahulu domain serta kodomainnya.
Domain: A = {2, 3, 4, 5, 6}
Kodomain: B = {1, 2, 3, 4}
Relasi: R: x -> x + 1
Diagram Cartesisunya digambarkan seperti berikut.
Pengertian Fungsi (Pemetaan)
Fungsi adalah hubungan antara daerah domain dan kodomian, di mana setiap satu anggota domain tepat berpasangan dengan satu anggota kodomain.
Artinya, fungsi merupakan bentuk relasi khusus. Setiap fungsi sudah bisa dipastikan relasi.
Namun, setiap relasi belum tentu fungsi. Adapun syarat khusus yang harus dipenuhi suatu relasi agar bisa dikatakan fungsi.
- Tidak boleh ada anggota domain yang tidak berpasangan. Artinya, seluruh anggota domain harus memiliki pasangan.
- Tidak boleh ada anggota domain yang berpasangan lebih dari satu atau bercabang.
Jenis-Jenis Fungsi
Secara umum, fungsi dibagi menjadi tiga jenis yaitu sebagai berikut.
1. Fungsi injektif
Fungsi injektif adalah fungsi yang anggota kodomainnya hanya boleh berpasangan dengan satu anggota domain.
Pada injektif ini, anggota kodomain boleh tidak berpasangan. Perhatikan contoh berikut.
Setiap anggota domain tepat berpasangan dengan satu anggota kodomain. Namun, masih ada anggota kodomain yang tidak berpasangan.
2. Fungsi surjektif
Fungsi surjektif adalah fungsi yang anggota kodomainnya tidak boleh ada yang tidak berpasangan.
Pada surjektif ini, setiap anggota kodomain boleh berpasangan dengan lebih dari satu anggota domain. Perhatikan contoh berikut.
3. Fungsi bijektif
Adalah fungsi yang anggota kodomainnya tidak boleh ada yang tidak berpasangan dan setiap anggota kodomain harus berpasangan dengan tepat satu anggota domain.
Artinya, anggota kodomain tidak boleh bercabang. Perhatikan contoh berikut. Bijektif ini biasa disebut korespondensi satu-satu.
Notasi Fungsi
Penulisan fungsi sama seperti relasi, misalnya notasi dari fungsi A ke B bisa dinyatakan sebagai f: A -> B, f(a) = b. Notasi tersebut memiliki arti fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A dengan satu anggota himpunan B.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Sebuah fungsi f: x -> y dengan f(x) = 4 + 2x memiliki daerah asal {1, 3, 5, 7}. Gambarkan diagram panah fungsi tersebut.
Pembahasan:
Pertama, tentukan dahulu daerah kawan (kodomain) yang anggotanya sama dengan daerah hasil. Caranya adalah dengan mensubstitusikan nilai daerah asal pada persamaan fungsi yang tersedia.
Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {6, 10, 14, 18}
Jika digambarkan dalam bentuk diagram panah, menjadi seperti berikut.
Contoh Soal 2
Pak Hasan memiliki himpunan S, T, U, V, dan W yang masing-masing anggotanya adalah sebagai berikut.
- S = {(3,2), (4,3), (5,7), (6,8)}
- T = {(2,3), (2,4), (3,5), (4,7)}
- U = {(1,3), (2,3), (3,5),(4,9)}
- V = {(4,5), (1,2), (3,9), (7,10)}
- W = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4)}
Tentukan jenis himpunan yang dimiliki Pak Hasan tersebut!
Pembahasan:
Himpunan S = {(3,2), (4,3), (5,7), (6,8)}
Domain = {3, 4, 5, 7}
Kodomain = {2, 3, 7, 8}
Jika diperhatikan, setiap anggota himpunan domain tepat berpasangan dengan satu anggota himpunan kodomain.
Tidak hanya itu, setiap satu anggota kodomain hanya memiliki satu pasang anggota domain.
Artinya, himpunan S merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
Himpunan T = {(2,3), (2,4), (3,5), (4,7)}
Domain = {2, 3, 4}
Kodomain = {3, 4, 5, 7}
Jika diperhatikan, ada satu anggota domain yang berpasangan dengan dua anggota kodomain, yaitu (2,3) dan (2,4).
Artinya, himpunan T merupakan relasi atau tidak termasuk fungsi.
Himpunan U = {(1,3), (2,3), (3,5), (4,9)}
Domain = {1, 2, 3, 4}
Kodomain = {3, 5, 9}
Jika diperhatikan, setiap satu anggota domain berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain.
Namun, ada anggota kodomain yang berpasangan dengan dua anggota domain. Artinya, himpunan U merupakan fungsi surjektif.
Himpunan V = {(4,5), (1,2), (3,9), (7,10)}
Domain = {4, 1, 3, 7}
Kodomain = {5, 2, 9, 10}
Jika diperhatikan, setiap anggota himpunan domain tepat berpasangan dengan satu anggota himpunan kodomain.
Tidak hanya itu, setiap satu anggota kodomain hanya memiliki satu pasang anggota domain.
Artinya, himpunan V merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
Himpunan W = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4)}
Domain = {1, 2}
Kodomain = { 2, 3, 4}
Jika diperhatikan, satu anggota domain berpasangan dengan lebih dari satu anggota kodomain.
Artinya, himpunan W merupakan relasi atau tidak termasuk fungsi.
Jadi, himpunan S = fungsi bijektif, himpunan T = relasi, himpunan U = fungsi surjektif, himpunan V = fungsi bijektif, dan himpunan W = relasi.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini tentang relasi dan fungsi. Semoga bisa membantu Quipperian memahami Matematika dengan lebih menyenangkan, ya.
Jangan lupa gabung bersama Quipper Video supaya kamu bisa akses materi belajar di mana saja dan kapan saja. Tak hanya lewat tayangan video, kamu juga bisa belajar lewat rangkuman materi dan latihan soal. Segera daftar, ya!
Penulis: Eka Viandari