Hayo, siapa di antara Quipperian yang hobi bercermin? Cermin merupakan peralatan yang bisa membantu kamu untuk melihat wajah hingga bentuk tubuh yang lainnya. Hal itu karena bayangan yang dihasilkan oleh cermin akan sama persis dengan objeknya. Namun, posisinya berlawanan. Misalnya, tangan kananmu akan menjadi tangan kiri bayanganmu pada cermin. Di dalam Matematika, proses pencerminan semacam ini biasa disebut sebagai refleksi. Lalu, apa itu refleksi? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Refleksi Matematika
Refleksi Matematika adalah perpindahan setiap titik atau objek ke titik lain atau objek lain seperti halnya pembentukan bayangan pada cermin datar. Jarak antara titik asal ke cermin pasti akan sama dengan jarak titik bayangan ke cermin. Refleksi tidak mengubah bentuk dan ukuran objek. Hanya saja, posisi titik awal terhadap titik bayangannya akan saling berlawanan. Jika titik awalnya di bawah, maka titik bayangannya di atas. Jika titik awalnya di kiri, titik bayangannya di kanan. Ya prinsipnya sama seperti posisi bayangan di cermin, sih. Apakah Quipperian penasaran? Silahkan bercermin, lalu perhatikan posisi bayangan terhadap dirimu ya.
Refleksi biasa dinyatakan sebagai M. Misalnya, titik P (x, y) mengalami refleksi hingga dihasilkan bayangan P’(x’, y’). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai:
Sifat-Sifat Refleksi Matematika
Suatu transformasi atau perpindahan dikatakan refleksi jika memenuhi sifat-sifat tertentu, yakni sebagai berikut.
- Jarak titik awal ke cermin akan sama dengan jarak bayangan ke cermin.
- Garis penghubung antara titik asal ke titik bayangan akan tegak lurus cermin.
- Semua garis penghubung antara titik asal dan titik bayangan akan saling sejajar. Artinya, tidak akan pernah berpotongan di suatu titik manapun.
- Pusat refleksi merupakan dianalogikan sebagai cermin.
Jenis-Jenis Refleksi Matematika
Berdasarkan pusat refleksinya atau sumbu cerminnya, refleksi dibagi menjadi tujuh, yaitu refleksi terhadap sumbu-x, refleksi terhadap sumbu-y, refleksi terhadap titik pusat (0, 0), refleksi terhadap garis y = x, refleksi terhadap garis y = –x, refleksi terhadap garis x = h, dan refleksi terhadap garis y = k. Bagaimana pembahasan ketujuh refleksi tersebut?
Refleksi Terhadap Sumbu-x
Pada refleksi jenis ini, sumbu-x berperan sebagai cermin atau pusat refleksinya. Jika titik P(x, y) direfleksikan terhadap sumbu-x, akan dihasilkan bayangan P’(x’, y’). Secara matematis bisa dinyatakan sebagai:
Dengan:
x’ = x
y’ = -y
sehingga:
Koordinat titik bayangannya bisa kamu tentukan dengan konversi matriks berikut.
Contoh, titik P (2, 3) direfleksikan terhadap sumbu-x. Tentukan gambar bayangan terhadap titik awalnya.
Pembahasan:
Jika titik P direfleksikan terhadap sumbu-x, akan dihasilkan bayangan P’(2, -3). Gambar pencerminan kedua titik pada koordinat Cartesius adalah:
Gambar di atas menunjukkan bahwa jarak titik P terhadap sumbu-x sama dengan jarak titik P’ ke sumbu-x.
Refleksi Terhadap Sumbu-y
Pada refleksi jenis ini, sumbu-y berperan sebagai cermin. Jarak titik awal ke sumbu-y pasti akan sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu-y. Misalnya, titik P (x, y) direfleksikan terhadap sumbu-y, maka akan dihasilkan titik P’. Koordinat P’ bisa dinyatakan sebagai:
Dengan:
x’ = -x
y’ = y
sehingga:
Agar lebih jelas, perhatikan contoh:
Titik P (2, 3) direfleksikan terhadap sumbu-y. Tentukan gambar bayangan terhadap titik awalnya.
Pembahasan:
Jika titik P direfleksikan terhadap sumbu-y, akan dihasilkan bayangan P’(-2, 3). Gambar pencerminan kedua titik pada koordinat Cartesius adalah:
Dari gambar di atas, terbukti kan jika jarak antara titik P ke sumbu-y sama dengan jarak titik P’ ke sumbu-y?
Refleksi Terhadap Titik Pusat (0, 0)
Sama seperti dua refleksi sebelumnya, pada refleksi ini titik pusat (0, 0) berperan sebagai cermin. Artinya, jarak antara titik pusat ke titik awalnya akan sama dengan jarak titik bayangan ke titik pusat. Apabila titik P (x, y) direfleksikan terhadap titik (0, 0) akan dihasilkan bayangan P’ seperti persamaan di bawah ini.
Dengan:
x’ = -x
y’ = -y
sehingga:
Persamaan matriksnya adalah:
Contoh:
Titik P (2, 3) direfleksikan terhadap titik (0, 0). Tentukan gambar bayangan terhadap titik awalnya.
Pembahasan:
Saat direfleksikan terhadap titik (0, 0), akan dihasilkan titik bayangan P’ (-2, -3). Adapun gambar pencerminannya adalah sebagai berikut.
Refleksi Terhadap Garis y = x
Pada refleksi ini, garis y = x berperan sebagai pusat rotasi atau cermin. Itu artinya, jarak antara titik ke garis y = x sama jarak antara bayangan ke garis y = x. Misalnya, titik P yang berkoordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = x. Refleksi itu akan menghasilkan bayangan P’ seperti persamaan di bawah ini.
Dengan:
x’ = y
y’ = x
sehingga:
Persamaan matriksnya adalah:
Contoh:
Titik P (2, 3) direfleksikan terhadap garis y = x. Tentukan gambar bayangan terhadap titik awalnya.
Pembahasan:
Saat direfleksikan terhadap garis y = x, akan dihasilkan titik bayangan P’ (3, 2). Adapun gambar pencerminannya adalah sebagai berikut.
Refleksi Terhadap Garis y = –x
Pada refleksi ini, garis y = –x berperan sebagai cermin atau pusat refleksi. Bentuk pencerminan terhadap garis y = -x hampir sama dengan pencerminan terhadap garis y = x. Hanya saja, posisi garisnya berlawanan.
Dengan:
x’ = -y
y’ = -x
sehingga:
Persamaan matriksnya adalah:
Untuk titik P (2, 3) yang direfleksikan terhadap garis y = -x, akan diperoleh hasil seperti berikut.
Pembahasan:
Saat direfleksikan terhadap garis y = -x, akan dihasilkan titik bayangan P’ (-3, -2). Adapun gambar pencerminannya adalah sebagai berikut.
Refleksi Terhadap Garis x = h
Garis x = h merupakan garis yang sejajar dengan sumbu-y. Jika titik P direfleksikan terhadap garis x = h, artinya titik P dicerminkan terhadap garis x = h yang sejajar dengan sumbu-y. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
x’ = 2h – x
y’ = y
sehingga:
Persamaan matriksnya adalah:
Lalu, bagaimana penerapan pada soalnya?
Titik P (2, 3) direfleksikan terhadap garis x = 3. Tentukan gambar bayangan terhadap titik awalnya.
Pembahasan:
Saat direfleksikan terhadap garis x = 3, akan dihasilkan titik bayangan P’ seperti berikut.
Jika titik itu kamu plot pada koordinat Cartesius, diperoleh:
Dari gambar di atas, terlihat bahwa garis x = 3 sejajar dengan sumbu-y.
Refleksi Terhadap Garis y = k
Garis y = k merupakan garis yang sejajar sumbu-x. Proses pembentukan bayangannya juga sama dengan pembentukan bayangan terhadap sumbu-x. Jika titik P direfleksikan terhadap garis x = k, artinya titik P dicerminkan terhadap garis x = k yang sejajar dengan sumbu-x. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
x’ = x
y’ = 2k – y
sehingga:
Persamaan matriksnya adalah:
Titik P (2, 3) direfleksikan terhadap garis . Tentukan gambar bayangan terhadap titik awalnya.
Pembahasan:
Saat direfleksikan terhadap garis y = 1, akan dihasilkan titik bayangan P’ seperti berikut.
Selanjutnya, plot titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius.
Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham? Yuk, lanjut ke contoh soalnya!
Contoh Soal
Agar pemahamanmu semakin paripurna, simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Suatu titik (-4, 1) direfleksikan terhadap garis x = h, hingga dihasilkan bayangan (-20, 1). Tentukan nilai h!
Pembahasan:
Diketahui:
(x, y) = (-4, 1)
(x’, y’) = (-20, 1)
Ditanya: h =…?
Jawab:
Nilai h bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.
Jadi, nilai h = -12.
Contoh Soal 2
Suatu titik yang memiliki koordinat (-3, -1) direfleksikan terhadap garis y = -2. Tentukan koordinat bayangan titik tersebut!
Pembahasan:
Saat direfleksikan terhadap garis y = -2, akan dihasilkan koordinat titik bayangan seperti berikut.
Jadi, koordinat akhir titik tersebut adalah (-3, -3).
Contoh Soal 3
Diketahui persamaan garis berikut.
Jika garis tersebut direfleksikan terhadap sumbu-x, tentukan persamaan garis bayangannya!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan dahulu koordinat x’ dan y’ sebagai koordinat titik bayangan. Pada refleksi terhadap sumbu-x, berlaku:
Dengan demikian:
x = x’
y = -y’
Substitusikan nilai x = x’ dan y = -y’ ke persamaan garis awalnya.
Jadi, persamaan garis bayangannya adalah y = -2x + 5.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!