Hayo, siapa yang masih ingat materi tentang logaritma? Saat belajar logaritma, kamu akan dikenalkan dengan istilah persamaan dan pertidaksamaan. Khusus pada perjumpaan kali ini, Quipper Blog akan mengajak Quipperian untuk belajar tentang pertidaksamaan logaritma. Memangnya, apa yang dimaksud pertidaksamaan logaritma? Dan seperti apa bentuk pertidaksamaannya? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat fungsi logaritma di dalamnya. Oleh karena pertidaksamaan, maka akan berlaku tanda “<”, “>”, “≤”, atau “≥”. Sama seperti pertidaksamaan lainnya, pada pertidaksamaan logaritma kamu akan diminta untuk menentukan solusi atau nilai variabel yang memenuhi, sehingga pertidaksamaan bisa berlaku. Solusi itu biasanya dinyatakan dalam bentuk himpunan penyelesaian karena biasanya memuat interval tertentu. Interval kamu peroleh melalui garis bilangan.
Bentuk Pertidaksamaan Logaritma
Berdasarkan nilai basisnya, bentuk umum pertidaksamaan logaritma dibagi menjadi dua, yaitu pertidaksamaan dengan basis a > 1 dan basis 0 < a < 1. Apa perbedaan bentuk kedua pertidaksamaan tersebut?
Bentuk Pertidaksamaan Untuk Bilangan Pokok atau a > 1
Jika suatu pertidaksamaan log memiliki bilangan pokok atau basis lebih besar dari satu, akan berlaku:
Dengan:
a = basis (bilangan pokok); dan
f(x) dan g(x) = numerus dalam bentuk fungsi.
Ingat, jika basisnya lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaannya tetap.
Bentuk Pertidaksamaan Untuk Bilangan Pokok atau 0 < a < 1
Jika basisnya berada di antara 0 dan 1, akan berlaku kebalikan tanda pertidaksamaan antara kedua fungsinya. Pada bentuk umum ini berlaku:
Dari kedua bentuk pertidaksamaan tersebut, ada syarat yang harus dipenuhi, yaitu numerus harus lebih besar dari nol. Secara matematis bisa dinyatakan sebagai f(x), g(x) > 0. Sementara itu, tanda pertidaksamaannya bisa “<”, “>”, “≤”, atau “≥”.
Baca Juga: Logaritma – Matematika Kelas 10
Sifat Pertidaksamaan Logaritma
Sifat-sifat pertidaksamaan logaritma adalah sifat-sifat yang bisa memudahkanmu dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan log. Setiap bentuk pertidaksamaan memiliki sifat yang berbeda-beda.
Dengan adanya sifat-sifat ini, kamu hanya perlu menyelesaikan pertidaksamaan pada numerusnya saja, tanpa harus menyelesaikan sistem logaritma itu sendiri. Namun, harus tetap mengacu pada syarat-syarat suatu logaritma, ya. Adapun sifat-sifat pertidaksamaan log adalah sebagai berikut.
Sifat Untuk Bilangan Pokok atau a > 1
Jika bilangan pokoknya atau a > 1, berlaku:
Sifat-sifat di atas menunjukkan bahwa untuk basis a > 1, tanda pertidaksamaannya tetap.
Sifat Untuk Bilangan Pokok atau 0 < a < 1
Jika bilangan pokoknya 0 < a < 1, berlaku:
Ingat, syarat yang harus dipenuhi untuk semua sifat di atas adalah semua numerus harus lebih besar dari nol ((f(x), g(x) > 0).
Kamu tidak perlu bingung menghafal semua sifat-sifat di atas, ya. Untuk memudahkanmu memahaminya, gunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut ini.
Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma
Saat menjumpai soal-soal pertidaksamaan logaritma, pasti kamu akan diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Untuk memudahkanmu dalam menentukan himpunan yang dimaksud, ikuti langkah-langkah berikut.
Oleh karena numerus harus lebih besar dari nol, maka kamu harus menyelesaikan sistem pertidaksamaan pada masing-masing numerusnya dahulu dan mengacu pada f(x), g(x) > 0. Setelah kamu mendapatkan nilai variabel yang memenuhi, gambarkan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan.
Ambil daerah yang bertanda + (karena syarat numerus harus positif). Pada langkah kedua ini, akan diperoleh dua garis bilangan, yaitu garis bilangan untuk f(x) dan garis bilangan g(x). sebelum membuat garis bilangan, tentukan dahulu titik pembuat nolnya, ya.
Setelah kamu mendapatkan penyelesaian dari kedua numerus, lanjutkan dengan menyelesaikan pertidaksamaan pada kedua numerus, sesuai tanda pertidaksamaannya. Misal alog f(x) > alog g(x), maka ambillah f(x) > g(x) saja (sesuaikan tandanya dengan sesuai dengan bilangan pokok pada pertidaksamaannya). Hasil yang diperoleh pada langkah ketiga ini, selanjutnya bisa kamu gambarkan pada garis bilangan.
Tentukan Irisan Ketiga Solusi Pertidaksamaan
Solusi x yang memenuhi merupakan irisan dari tiga pertidaksamaan yang telah kamu kerjakan sebelumnya. Ambil daerah yang memenuhi ketiga solusi pertidaksamaan.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.
Tentukan penyelesaian dari 2log (x + 4) > 2log (x2 + 4x)!
Pembahasan:
Langkah pertama, tentukan solusi dari setiap pertidaksamaan numerus.
Syarat numerus > 0, sehingga
x + 4 > 0
↔ x > -4
↔ x > -4
Jika digambarkan pada garis bilangan menjadi:
x2 + 4x > 0
x (x + 4) > 0
x = 0 atau x = -4 (pembuat nol)
Jika digambarkan pada garis bilangan, menjadi:
Solusi yang memenuhi {x < -4 atau x > 0}
Langkah kedua, tentukan solusi pertidaksamaan pada kedua numerus.
Oleh karena a > 1, maka tanda pertidaksamaannya tetap.
2log (x + 4) > 2log (x2 + 4x)
↔ x + 4 > x2 + 4x
↔ -x2 – 4x + x + 4 > 0
↔ -x2 – 3x + 4 > 0 dikali (-1)
↔ x2 + 3x – 4 < 0
↔ (x + 4) (x – 1) < 0
x = -4 atau x = 1 (pembuat nol)
Jika digambarkan pada garis bilangan, menjadi:
Langkah ketiga, tentukan irisan ketiga pertidaksamaan.
Irisan dari ketiga pertidaksamaan adalah 0<x< 1.
Contoh Soal Pertidaksamaan Logaritma
Untuk mengasah pemahamanmu, yuk simak contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesain dari pertidaksamaan berikut.
Pembahasan:
Langkah pertama, tentukan dahulu solusi dari setiap numerus agar numerus lebih besar dari nol.
Jika digambarkan pada garis bilangan, menjadi:
g(x) > 0
⇔ x2 – 7x + 6 > 0
⇔ (x – 6)(x-1) > 0
⇔ x > 6 atau x < 1
Jika digambarkan pada garis bilangan, menjadi:
Langkah kedua, tentukan solusi dari pertidaksamaan kedua numerus.
Jika digambarkan pada garis bilangan, menjadi:
Langkah ketiga, tentukan irisan dari ketiga pertidaksamaan.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {x < -1}.
Contoh Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
Pembahasan:
Pertidaksamaan tersebut memenuhi bentuk f (x) < g (x)
f(x) > 0
⇔ x2 + 3x > 0
⇔ x(x+3) > 0
⇔ x > 0 atau x < -3
Jika dinyatakan dalam bentuk garis bilangan, menjadi seperti berikut.
g(x) > 0
⇔ -2x + 14 > 0
⇔ -2x >-14
⇔ x < 7
Jika dinyatakan dalam bentuk garis bilangan, menjadi seperti berikut.
Langkah kedua, tentukan solusi pertidaksamaan dari kedua numerus.
f(x) < g(x)
⇔ x2 + 3x < -2x + 14
⇔ x2 + 3x + 2x – 14 < 0
⇔ x2 + 5x – 14 < 0
⇔ (x-2)(x+7) < 0
⇔ -7< x < 2
Jika dinyatakan dalam bentuk garis bilangan, menjadi:
Langkah ketiga, tentukan irisannya seperti berikut.
Himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari pertidaksamaan numerus f(x) > 0, g(x) > 0, dan f(x) < g(x) yang diperoleh dari garis bilangan. Dengan demikian, irisannya adalah sebagai berikut.
- {x| – 7 < x < -3}
- {x| 0 < x < 2}
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan pada soal adalah {x| – 7 < x < -3} atau {x| 0 < x < 2}.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!