Hai Quipperian, saat terjadi gempa Bumi, biasanya BMKG akan memberikan informasi tentang kekuatan gempa, kan? Misalnya 4,8 SR, 5,2 SR, dan sebagainya. Nilai kekuatan gempa itu terukur pada suatu alat yang disebut seismograf. Tahukah kamu jika pembacaan nilai pada seismografnya memanfaatkan persamaan logaritma, lho. Lalu, apa yang dimaksud dengan persamaan logaritma? Bagaimana bentuk persamaannya? Daripada penasaran, yuk simak artikel selengkapnya!
Pengertian Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah suatu persamaan matematis yang memuat variabel x di dalam fungsi logaritmanya (numerus). Apakah variabelnya hanya terletak di bagian numerus? Tentu tidak ya. Bilangan pokok atau basisnya juga bisa memuat variabel. Lalu, bagaimana jika basisnya juga memuat variabel? Kamu tak perlu khawatir karena di ulasan bawahnya sudah tersaji lengkap sifat-sifat persamaan logaritma.
Ingat ya, pada sistem persamaan pasti akan ada tanda hubung “=” di antara fungsi ruas kiri dan fungsi ruas kanannya. Solusi penyelesaian untuk persamaan logaritma biasanya hanya ada satu. Hal ini tentu berbeda dengan pertidaksamaan logaritma yang memiliki lebih dari satu solusi pertidaksamaan. Sebelum sampai ke bentuk persamaan logaritma, yuk flashback dulu ke bentuk umum logaritma.
a log b = n
Dengan :
a = bilangan pokok atau basis;
b = numerus; dan
n = nilai logaritma.
Nah, pada persamaan logaritma, numerus itu memuat suatu variabel, misalnya x atau y.
Bentuk Umum Persamaan Logaritma
Secara umum, bentuk umum persamaan logaritma dibagi menjadi lima. Perbedaan ketiga persamaan terletak pada bentuk basis dan numerusnya. Adapun bentuk umum persamaan logaritma adalah sebagai berikut.
Bentuk Umum alog f(x) = alog g(x)
Bentuk umum pertama berlaku untuk dua persamaan yang memiliki basis yang sama, namun fungsi numerusnya berbeda. Bentuk umum yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Dengan :
a = basis (bilangan pokok); dan
f(x) dan g(x) = numerus dalam bentuk fungsi.
Adapun contoh bentuk umum alog f(x) = alog g(x) adalah 2log(2x + 1) = 2log(x2 – 1).
Agar suatu persamaan logaritma bisa terdefinisi, nilai numerus harus lebih besar dari nol. Artinya, solusi persamaan harus mengacu pada syarat tersebut.
Bentuk Umum alog f(x) = alogk
Bentuk umum kedua berlaku untuk dua logaritma dengan basis yang sama, di mana salah satu numerusnya berupa fungsi dan numerus yang lain berupa konstanta. Bentuk umum yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Dengan :
a = basis (bilangan pokok);
f(x)= numerus dalam bentuk fungsi; dan
k = numerus dalam bentuk konstanta.
Contoh penerapan bentuk umum alogf(x) = alogk adalah 3log(2x + 1) = 2log4.
Dari persamaan tersebut, numerus di ruas kiri berupa fungsi (2x + 1), sementara numerus di ruas kanan berupa konstanta, yaitu 4.
Bentuk Umum alog f(x) = blog f(x)
Bentuk umum ketiga berlaku untuk persamaan yang memiliki basis berbeda, namun numerus nya sama. Bentuk umum yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Bentuk ini terpenuhi jika a ≠ b. Contoh bentuk alogf(x) = blogf(x) adalah sebagai berikut.
4log(2x + 1) = 5log(2x + 1)
Jika kamu menjumpai persamaan seperti di atas, bagaimana cara menentukan nilai x nya? Untuk tahu itu, simak sifat-sifat logaritma di sesi setelahnya , ya.
Bentuk Umum f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
Bentuk umum keempat ini berlaku untuk persamaan logaritma dengan basis dan numerus berupa fungsi, di mana fungsi basisnya sama. Adapun bentuk yang dimaksud adalah sebagai berikut.
f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
Dengan :
f(x)= basis berupa fungsi; dan
g(x) dan h(x) = numerus dalam bentuk fungsi.
Yuk, perhatikan contoh bentuk umum f(x)log g(x) = f(x)log h(x) berikut ini.
x+1log(3x – 4) = x+1log(5x)
Jika kamu menjumpai persamaan seperti di atas, lihat kembali sifat-sifat log beserta syaratnya, ya.
Bentuk Umum f(x)log h(x) = g(x)log h(x)
Bentuk umum kelima ini berlaku untuk persamaan yang kedua basisnya berupa fungsi berbeda, namun numerusnya sama. Adapun bentuk yang dimaksud adalah sebagai berikut.
f(x)log h(x) = g(x)log h(x)
Contoh persamaan yang termasuk dalam bentuk umum kelima ini adalah sebagai berikut.
x+1log(3x – 4) = x+2log(3x – 4)
Bentuk Umum Persamaan Logaritma Kuadrat
Bentuk umum keenam ini berlaku untuk persamaan kuadrat dengan variabel berupa fungsi logaritma. Adapun bentuk yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Jika kamu menjumpai soal-soal dengan bentuk umum seperti di atas, ubahlah soal
tersebut dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan fungsi logaritmanya
sebagai suatu variabel, misal x, y, atau z.
Sifat-Sifat Persamaan Logaritma
Sifat-sifat logaritma merupakan sifat-sifat yang mengacu pada bentuk umum persamaan logaritma. Itulah mengapa, setiap bentuk umum persamaan log memiliki sifat yang berbeda-beda. Sifat-sifat ini akan berlaku jika suatu persamaan log memenuhi syarat-syarat tertentu. Adapun sifat-sifat persamaan log adalah sebagai berikut.
- alog f(x) = alog g(x) ⇔ f(x)=g(x)
- alog f(x) = alog k ⇔ f(x) = k, dengan k = konstanta
- alog f(x) = blog f(x) ⇔ f(x) = 1
- f(x) log g(x) = f(x) log h(x) ⇔ g(x) = h(x)
- f(x)log h(x) = g(x) log h(x) ⇔ f(x) = g(x) atau h(x)=1
- Sifat kelima ini berlaku pada sistem persamaan kuadrat logaritma, yaitu seperti berikut. A (alog f(x))2 + B(alog f(x)) + C = 0 Sifat keenam ini bisa diselesaikan dengan memisalkan logaritmanya sebagai variabel tertentu. Lalu, tentukan akar-akar persamaan kuadratnya seperti kamu menyelesaikan soal persamaan kuadrat.
Sifat ini terpenuhi dengan syarat a > 0, a ≠ 1, dan numerus harus lebih besar dari 0.
Sifat kedua ini terpenuhi dengan syarat a > 0, a ≠ 1, dan numerus harus lebih besar dari 0.
Sifat ketiga ini terpenuhi dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 dan numerus harus lebih besar dari 0.
Sifat keempat ini terpenuhi dengan syarat f(x) > 0, f(x) ≠ 1, dan numerus harus lebih besar dari 0.
Sifat kelima ini terpenuhi dengan syarat f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan numerus lebih besar dari 0.
Baca Juga: Logaritma – Matematika Kelas 10
Langkah-Langkah Menyelesaikan Persamaan Logaritma
Setiap persamaan pasti memuat solusi penyelesaian. Begitu juga dengan persamaan logaritma. Solusi dari persamaan ini merupakan nilai variabel dari fungsinya logaritmanya. Untuk memudahkanmu dalam menentukan nilai variabel yang memenuhi, ikuti langkah-langkah berikut.
Identifikasi Bentuk Logaritmanya
Langkah pertama, kamu harus mengidentifikasi bentuk persamaan logaritmanya. Mengapa demikian? Karena setiap bentuk logaritma memiliki sifat-sifat tertentu yang berpengaruh pada proses penyelesaiannya.
Selesaikan Persamaan Logaritmanya
Langkah kedua, selesaikan persamaan logaritmanya mengacu pada sifat-sifat yang telah ditulis sebelumnya hingga diperoleh nilai variabel yang dicari.
Substitusikan Nilai Variabel pada Fungsi Numerus
Kamu harus ingat bahwa syarat numerus harus berupa bilangan positif. Itulah mengapa, setelah mendapatkan nilai variabel yang dimaksud, kamu harus mensubstitusikan nilai tersebut pada fungsi numerus. Jika dihasilkan numerus positif, maka nilai itulah solusinya. Namun, jika menghasilkan numerus negatif, maka nilai tersebut tidak termasuk solusi.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Pembahasan :
Oleh karena basisnya sama dan kedua numerus berupa fungsi, maka contoh di atas memiliki bentuk umum pertama. Untuk menyelesaikannya, gunakan sifat pertama persamaan log, ya.
Selanjutnya, tentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Lalu, substitusikan x = -4 dan x = 2 pada numerusnya.
Ambil x = -4 ↔ 3x = 3(-4) = -12 (dihasilkan numerus negatif) → tidak memenuhi
Ambil x = 2 ↔ 3x = 3(2) = 12 (dihasilkan numerus positif) → memenuhi
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 2
Sampai sini, Quipperian sudah paham kan? Yuk, langsung ke contoh soalnya.
Contoh Soal Persamaan Logaritma
Untuk mengasah kemampuanmu, yuk simak contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Pembahasan :
Oleh karena basisnya merupakan fungsi yang sama dengan kedua numerusnya juga berupa fungsi, maka gunakan sifat keempat.
f(x)log g(x) = f(x)log h(x) ⇔ g(x) = h(x)
Syarat: f (x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, dan h(x) > 0
Substitusikan nilai x = 7 dan x = -3 pada numerus dan basis.
| 4x (numerus) | x2 – 1 (basis) | Keterangan | |
|---|---|---|---|
| x = 7 | 28 (positif) | 48 (positif) | Memenuhi |
| x = -3 | -12 (negatif) | 8 (positif) | Tidak memenuhi |
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 7.
Contoh Soal 2
Suatu daerah di pesisir pantai dilanda gempa bumi yang kekuatannya 5 SR. Persamaan kekuatan gempa buminya dinyatakan sebagai berikut.
K = 2log(148 – x ) SR
Jika x merupakan jarak antara suatu daerah dengan titik pusat gempanya (dalam mil), berapakah jarak antara tempat tersebut dan pusat gempanya?
Pembahasan :
Oleh karena K merupakan konstanta yang nilainya 5, maka kamu harus mengubah konstanta tersebut dalam bentuk logaritma yang basisnya sama dengan basis fungsi logaritma di ruas kanan.
K = 2log(148 – x )
5 = 2log(148 – x )
2log 25 = 2log(148 – x )
Oleh karena basisnya sama dengan salah satu numerus berupa konstanta, maka kamu bisa menggunakan sifat kedua.
alog f(x) = alog k ⇔ f(x) = k
2log(148 – x) – 2 log25
⇔ 148 – x = 25
⇔ 148 – x = 32
⇔ x = 116 mil
Jadi, jarak antara tempat tersebut dan pusat gempanya adalah 116 mil.
Contoh Soal 3
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Pembahasan :
Oleh karena basisnya tidak sama dengan fungsi di kedua numerusnya sama, maka persamaan di atas memiliki bentuk umum ketiga. Untuk menyelesaikannya, gunakan sifat persamaan ketiga, ya.
alog f(x) = blog f(x) ⇔ f(x) = 1
Selanjutnya, tentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
4log(2x – 5) = 3log(2x – 5)
⇔ 2x – 5 = 1
⇔ 2x = 6
⇔ x = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!