Hai Quipperian, di dalam Matematika terkadang kamu diminta untuk mengurutkan suatu objek, kan? Nah, cara mengurutkannya juga diperhatikan, lho. Ada yang urutannya tidak boleh dibalik, misalnya urutan juara olimpiade 1 – 3 dan ada juga yang urutannya acak atau bebas, misalnya gurumu akan mengambil secara acak tiga siswa di kelas untuk mengikuti lomba lari cepat. Tahukah kamu jika urutan-urutan semacam itu dipelajari pada permutasi dan kombinasi, lho. Memangnya, apa yang dimaksud permutasi dan kombinasi? Yuk, simak selengkapnya!
Permutasi
Saat belajar permutasi, ada beberapa hal yang harus kamu ketahui, yakni pengertian, jenis-jenis, serta contoh penerapannya. Berikut ini pembahasan lengkap ketiganya.
Pengertian Permutasi
Permutasi adalah banyaknya cara menyusun suatu unsur dengan memperhatikan urutannya. Oleh karena memperhatikan urutan, maka posisi unsur tidak bisa dibalik atau ditukarkan. Contohnya dari 5 calon pengurus kelas, dipilih empat pengurus yang akan menempati posisi ketua, wakil, sekretaris, dan bendahara. Kira-kira, berapa banyak cara untuk memilihnya? Dari kasus tersebut, setiap calon terpilih akan menempati posisi atau jabatan tertentu yang tidak bisa ditukarkan dengan calon yang lain. Itulah mengapa pada contoh pemilihan calon pengurus kelas berlaku permutasi. Permutasi r dari n unsur yang tersedia bisa dinyatakan sebagai P(n, r).
Jenis-Jenis Permutasi
Berdasarkan unsur penyusunnya, permutasi dibagi ke dalam empat jenis, yakni permutasi dengan semua unsur yang berbeda, permutasi yang dibatasi dengan beberapa unsur berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, dan permutasi siklis. Apa perbedaan antara keempatnya?
Permutasi dengan semua unsur berbeda
Hasil permutasi r untuk n unsur yang berbeda, di mana r ≤ n bisa ditentukan dengan rumus berikut.
Dengan:
Pnr = P(n, r) = permutasi r unsur untuk n unsur berbeda;
n = banyaknya unsur; dan
r = kriteria unsur yang akan dipermutasikan.
Ingat, r dan n termasuk himpunan bilangan bulat, ya.
Jika r = n, maka persamaannya menjadi:
Contoh penerapan permutasi jenis ini adalah:
Kepala SMA Makmur meminta petugas TU untuk menyusun nomor ujian sebanyak 4 digit menggunakan susunan angka 1 – 6. Berapa banyak susunan nomor ujian yang mungkin dibentuk?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 6 (banyaknya angka yang bisa dijadikan pilihan)
r = 4 (angka yang dipilih)
Ditanya: Pnr =…?
Jawab:
Kepala sekolah memberikan pilihan angka 1 – 6, sementara yang harus digunakan hanyalah 4 angka saja. Oleh karena pada nomor ujian berlaku urutan, maka gunakan persamaan permutasi berikut.
Jadi, susunan nomor ujian yang bisa dibentuk adalah 360.
Permutasi dengan pembatasan beberapa unsur yang berbeda
Secara konsep, permutasi ini hampir sama dengan permutasi sebelumnya. Hanya saja, dibatasi oleh beberapa syarat, Misalnya, 6 anak yang terdiri dari 3 laki-laki dan 3 perempuan. Keenam anak tersebut duduk di bangku panjang, dengan ketentuan di kedua ujung bangkunya harus diisi oleh anak laki-laki. Berapakah cara duduk yang bisa dibentuk? Pada kasus tersebut, ada dua batasan permutasi, yaitu permutasi untuk menentukan banyaknya posisi anak laki-laki untuk mengisi ujung bangku dan permutasi sisa bangku setelah kedua ujungnya diisi oleh anak laki-laki. Solusi dari kasus di atas adalah:
Mula-mula, gambarkan posisi bangku beserta syaratnya.
Banyaknya susunan anak laki-laki yang mungkin:
n = 3
r = 2
Dengan demikian:
Setelah kedua ujung diisi oleh anak laki-laki, banyaknya bangku yang tersisa adalah 4. Empat bangku itu akan diisi oleh empat anak yang tersisa, sehingga:
n = 4
r = 4
Diperoleh:
Banyaknya cara berbeda untuk mengisi bangku tersebut adalah 6 × 24 = 144 cara.
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Jika pada suatu elemen ada beberapa unsur yang sama, lalu kamu diminta untuk menentukan permutasi dari elemen tersebut, kamu bisa menggunakan persamaan di bawah ini.
Dengan:
P = permutasi;
n = total jumlah unsur pada suatu elemen;
r1 = banyaknya unsur 1 yang sama;
r2 = banyaknya unsur 2 yang sama;
r3 = banyaknya unsur 3 yang sama; dan
rn = banyaknya unsur n yang sama.
Permutasi jenis ini biasanya digunakan untuk menentukan banyaknya susunan huruf yang ada di suatu kata. Misalnya, permutasi dari kata “INDONESIA”, “SEKOLAH”, “BAHASA”, dan sebagainya. Perhatikan contoh berikut.
Tentukan banyaknya permutasi dari kata INDONESIA.
Pembahasan:
Diketahui:
n = 9
r1 = 2 (jumlah huruf I)
r2 = 2 (jumlah huruf N)
Ditanya: P =…?
Jawab:
Untuk menentukan banyaknya permutasi dari kata INDONESIA, gunakan persamaan di bawah ini.
Jadi, banyaknya permutasi dari kata INDONESIA adalah 90.720.
Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah banyaknya cara menyusun suatu objek yang posisinya melingkar. Secara matematis, permutasi siklis dirumuskan sebagai berikut.
Dengan:
Ps = permutasi siklis; dan
n = banyaknya unsur.
Contohnya, lima anak akan duduk secara melingkar. Berapakah banyak cara duduk lima anak tersebut?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 5
Ditanya: Ps = …?
Jawab:
Tentukan permutasi siklis dengan rumus di bawah ini.
Jadi, banyak cara duduk lima anak tersebut secara melingkar adalah 24.
Kombinasi
Kombinasi adalah cara menyusun suatu unsur tanpa memperhatikan urutan. Artinya, kombinasi ini lawan dari permutasi. Mengapa? Karena pada permutasi, urutan sangat diperhatikan. Contoh kombinasi adalah saat gurumu memilih secara acak 4 anak di kelas untuk mengikuti upacara HUTRI di lapangan, di mana pemilihan itu bersifat acak tanpa memperhatikan urutan tertentu.
Rumus Kombinasi
Kombinasi biasa dilambangkan sebagai C. Untuk kombinasi r unsur dari n unsur berbeda dilambangkan sebagai Crn. Secara matematis, rumus kombinasi r unsur dari n unsur berbeda dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Crn = kombinasi r unsur dari n unsur berbeda;
n = banyaknya unsur; dan
r = banyaknya unsur yang dikombinasikan.
Coba perhatikan kembali rumus kombinasi di atas!
Rumus kombinasi tesebut bisa diuraikan menjadi:
Artinya, kombinasi merupakan hasil pembagian antara permutasi dari jumlah unsur yang dikombinasikan.
Untuk lebih lengkapnya, simak contoh soal di bawah ini.
Dalam rangka memperingati HUTRI ke-77, wali kelas XII A1 memilih lima siswa secara acak untuk diikutkan dalam kegiatan upacara. Jika jumlah seluruh siswa XII A1 adalah 38, tentukan banyaknya urutan yang mungkin!
Pembahasan:
Diketahui:
r = 5
n = 38
Ditanya: C538 =…?
Jawab:
Banyaknya urutan yang mungkin, bisa kamu tentukan dengan rumus berikut.
Jadi, banyaknya urutan yang mungkin adalah 501.942.
Contoh Soal
Apakah kamu sudah paham materi permutasi dan kombinasi ini? Jika sudah, yuk asah pemahamanmu dengan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Seorang pustakawan sedang menata buku mata pelajaran di rak. Tepat di rak paling atas, terdapat 3 buku Matematika, 2 buku Bahasa Inggris, dan 4 buku Sejarah. Jika buku sejenis harus ditata secara berdampingan, tentukan banyaknya cara menyusun buku-buku tersebut!
Pembahasan:
Di soal terdapat keterangan bahwa buku sejenis diletakkan secara berdampingan. Artinya, buku Matematika ditata berdampingan dengan buku Matematika, buku Bahasa Inggris dan Sejarah juga demikian.
Itu artinya, kamu harus mencari susunan yang mungkin dari buku-buku sejenisnya.
Susunan buku Matematika P33
Susunan buku Bahasa Inggris P22
Susunan buku Sejarah P44
Dengan demikian, banyaknya cara menyusun semua buku adalah 6 × 2 × 24 = 288.
Jadi, banyaknya cara menyusun semua buku adalah 288.
Contoh Soal 2
Di suatu meja jamuan tamu terdapat 3 laki-laki dan 4 perempuan yang duduk secara melingkar. Jika tamu laki-laki mengumpul dengan tamu laki-laki, tentukan banyaknya susunan duduk tamu-tamu tersebut!
Pembahasan:
Pada soal disebutkan bahwa tamu-tamu tersebut duduk secara melingkar. Artinya, berlaku permutasi siklis. Oleh karena tamu laki-laki mengumpul, maka tamu laki-laki ditandai sebagai satu unsur. Untuk itu, cari dahulu formasi duduk yang mungkin dai tiga tamu laki-laki tersebut.
Ketiga tamu ditandai sebagai satu tamu saja (karena selalu mengumpul), sehingga total ada 4 tamu perempuan + 1 tamu laki-laki = 5 tamu.
Banyaknya susunan duduk tamu tersebut = 6 × 24 = 144.
Contoh Soal 3
Di suatu kotak terdapat 10 manik-manik merah yang berbeda motif dan 5 manik-manik kuning yang juga berbeda motif. Dari total manik-manik yang ada, Diah ingin menyusun 10 manik-manik saja, dengan ketentuan manik-manik kuning yang digunakan hanya 3 biji. Tentukan banyaknya cara untuk menyusun manik-manik tersebut!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan banyaknya cara menyusun manik-manik kuning. Dari 5 manik-manik kuning, hanya 3 yang akan digunakan, sehingga:
Setelah diisi oleh 3 manik-manik kuning, masih ada 7 manik-manik lagi, kan? Ketujuh manik-manik tersebut disusun secara acak dari 10 manik-manik merah. Dengan demikian:
Total aturan perkalian, diperoleh susunan total yang mungkin adalah sebagai berikut.
Jadi, banyaknya cara untuk menyusun manik-manik tersebut 1.200 cara.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa bermanfaat dan menambah wawasan Quipperian. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!