Saat pertama kali masuk SD, pasti gurumu akan mengajarkan penjumlahan bilangan kan? Penjumlahan yang diajarkan sudah pasti sederhana, ya, misalnya 2 + 3 berapa anak-anak? 5 Bu Guru! Hehe
Di SMApun kamu juga pasti akan bertemu dengan penjumlahan serupa. Namun, dengan tingkat yang lebih rumit. Misalnya menjumlahan semua nilai deret/suku untuk rentang x = 1 sampai x = n. Penulisan penjumlahan yang sedemikian panjang, rasanya tidak efektif jika ditulis satu persatu. Untuk meringkasnya, kamu bisa menggunakan notasi sigma, lho. Apa yang dimaksud notasi sigma? Yuk, simak selengkapnya!
Pengertian Notasi Sigma
Notasi sigma adalah bentuk penulisan untuk meringkas penjumlahan suku-suku di dalam suatu deret. Tentunya, suku-suku tertentu mewakili pola tertentu. Dengan kata lain, tidak boleh sembarang suku dengan pola acak. Secara matematis, sigma dilambangkan sebagai Σ (bukan E). Lambang itu diambil dari abjad Yunani, yaitu S (kapital). Mengapa demikian? Karena pada zaman itu, para ilmuwan Yunani menggunakan istilah SUM untuk menjumlahkan data-data hasil penelitian mereka. Itulah mengapa, arti sigma dalam Matematika identik dengan operator penjumlahan.
Rumus Notasi Sigma
Setelah mengenal apa itu notasi sigma, kini kamu harus tahu rumus umumnya, yaitu sebagai berikut.
Dengan:
Σ = notasi sigma;
Ui = suku ke-i;
i = indeks penjumlahan;
p = batas bawah indeks untuk penjumlahan; dan
n = batas atas indeks untuk penjumlahan.
FYI, p bisa dimulai dari angka berapapun, ya. Misalnya, i = 1, i = 2, i = -1, dan seterusnya.
Lantas, bagaimana sih cara membaca notasi di atas? Cara membacanya, yaitu jumlahkan semua suku Ui mulai i = 1 sampai i = n.
Jika tidak ada notasi sigma, tentu kamu harus menuliskan perintah tersebut satu persatu contoh, U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + Un. Penulisan yang sedemikian panjang tentu kurang efektif, kan?
Contoh Notasi Sigma
Contoh notasi sigma tentu harus mengacu pada bentuk umum yang telah kamu pelajari di atas, yaitu sebagai berikut.
Dari contoh di atas, kira-kira bagaimana cara menyelesaikannya?
Mengacu pada bentuk umum notasi sigma, diketahui:
Ui = 2i + 5
Artinya, kamu harus menjumlahkan semua suku (2i + 5) untuk i = 1 sampai i = 4. Dengan demikian:
Ada lagi nih contohnya:
Dari contoh notasi sigma di atas, tentu kamu sudah bisa menyelesaikannya kan? Caranya sama kok dengan sebelumnya. Bedanya, penjumlahan sukunya dimulai dari i = 2.
Ternyata, materi notasi sigma itu mudah ya?
Sifat-Sifat Notasi Sigma
Terkadang, kamu menjumpai soal-soal notasi sigma yang terlihat cukup rumit. Sebenarnya, soal-soal itu mudah asalkan kamu memahami sifat-sifat notasinya. Adapun sifat-sifat notasi sigma adalah sebagai berikut.
Sifat ini menunjukkan bahwa penjumlahan suku yang nilainya 1 pada rentang i = 1 sampai n menghasilkan n itu sendiri. Misalnya, seperti berikut.
Sifat ini menunjukkan bahwa suatu konstanta tidak perlu kamu libatkan dalam penjumlahan secara langsung. Konstanta di depan suku bisa kamu kalikan di akhir setelah hasil penjumlahannya diketahui. Perhatikan contoh berikut.
Sifat ini berlaku pada penjumlahan dua suku yang berbeda. Jika kamu menjumpai kasus demikian, sama artinya kamu mencari hasil penjumlahan notasi sigma masing-masing suku. Berikut ini contohnya.
Sifat di atas berlaku pada dua notasi sigma yang memiliki rumus suku yang sama, namun memiliki batas yang berbeda. Dengan ketentuan, batas bawah notasi sigma kedua merupakan n + 1 (lanjutan indeks batas atas notasi sigma pertama), maka notasi sigma yang baru memiliki batas bawah seperti notasi pertama dan batas atas seperti notasi kedua. Berikut ini contohnya.
Adapun contoh sifat di atas adalah sebagai berikut.
Cara Menentukan Notasi Sigma
Untuk menentukan hasil penjumlahan dari bentuk notasi sigma, mungkin kamu sudah jago. Lantas, bagaimana jika prosesnya dibalik? Maksudnya, diketahui urutan penjumlahan suku-sukunya, lalu kamu harus menentukan persamaan notasi sigmanya. Tentu, dalam hal ini kamu harus membuka kembali lembar catatanmu tentang deret ya, baik deret aritmatika maupun geometri. Seperti inilah rumus dasarnya.
Suku ke-n deret aritmatika
Suku ke-n deret geometri
Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22
Bentuk notasi sigma dari urutan penjumlahan suku-suku di atas adalah sebagai berikut.
Ingat, setiap suku memiliki selisih yang sama, yaitu 3. Artinya, suku-suku tersebut merupakan deret aritmatika. Dengan demikian:
a = 1, b = 3
Indeks i = 1 dan n = 8.
Jadi, bentuk notasi sigmanya adalah sebagai berikut.
Cara Menghitung Notasi Sigma
Cara menghitung penjumlahan dari dua notasi sigma yang berbeda, tentu harus mengacu pada sifat-sifatnya. Untuk memudahkanmu, mula-mula tentukan dahulu bentuk umum dari dua notasi yang berbeda. Perhatikan contoh berikut.
Setelah mendapatkan bentuk umum di atas, barulah kamu tentukan penjumlahan untuk i = 4 sampai 8.
Contoh Soal Notasi Sigma
Setelah memahami apa itu notasi sigma beserta sifat-sifatnya, yuk asah kemampuanmu melalui contoh soal berikut ini.
Contoh soal 1
Diketahui notasi berikut ini.
Berapakah nilai 2n?
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mencari kisaran n yang memenuhi. Kita ambil n = 5.
Untuk n = 5, ternyata hasilnya belum sama dengan 42. Gimana kalau kita coba 7?
Setelah mensubstitusikan n = 7, diperoleh hasil yang sama, yaitu 45.
Jadi, nilai 2n = 2 × 7 =14.
Contoh soal 2
Tentukan hasil dari notasi sigma berikut.
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mengubah rumus sukunya seperti berikut.
Dengan demikian:
Jadi, nilai notasi sigma tersebut adalah 0,99.
Contoh soal 3
Diketahui persamaan dua notasi sigma seperti berikut.
Tentukan pembuktian notasi sigma di atas!
Pembahasan:
Mengacu pada sifat-sifat notasi sigma, kamu bisa menguraikan notasi sigmanya seperti berikut.
Ternyata, terbukti bahwa saling ekuivalen.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper