Hai Quipperian, saat belajar SPLDV atau SPLTV pasti kamu akan bertemu beberapa persamaan yang memuat beberapa variabel, kan? Biasanya, kamu diminta untuk menentukan nilai setiap variabelnya. Salah satu cara yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan SPLDV maupun SPLTV adalah matriks. Apa yang dimaksud dengan matriks serta apa saja jenis-jenisnya? Yuk, simak artikel selengkapnya berikut ini.
Pengertian Matriks
Matriks adalah angka-angka yang disusun sedemikian sehingga menyerupai persegipanjang berdasarkan urutan baris dan kolom. Angka-angka yang menyusun matriks disebut sebagai unsur atau elemen. Umumnya, matriks berada di dalam tanda kurung dan dinyatakan sebagai huruf kapital. Sementara itu, unsur atau elemen dinyatakan sebagai huruf kecil serta memiliki indeks. Indeks tersebut menyatakan letak baris dan kolom unsur. Baris adalah susunan angka yang arahnya horizontal atau mendatar. Sementara kolom adalah susunan angka yang arahnya vertikal. Perhatikan contoh matriks berikut.
Dari contoh di atas, a11, a12, a13, …, a33 disebut sebagai unsur. Sementara indeks 11 – 33 menunjukkan letak baris dan kolom unsur a. Misalnya a11 berarti elemen a berada di baris ke-1 dan kolom ke-1, a12 berarti elemen a berada di baris ke-1 dan kolom ke-2, dan seterusnya. Nah, banyaknya baris dan kolom di dalam matriks disebut sebagai ordo. Kira-kira, matriks P di atas termasuk ordo berapa ya Quipperian?
Jenis-Jenis Matriks
Adapun jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut.
1. Matriks baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris dengan beberapa kolom. Perhatikan contoh matriks baris berikut.
Berdasarkan contoh di atas, baik matriks P, Q, maupun R semuanya termasuk matriks baris. Namun, ordo ketiganya berbeda karena jumlah kolomnya berbeda. Matriks P memiliki ordo 1 × 3, matriks Q memiliki ordo 1 × 4, dan matriks R memiliki ordo 1 × 2.
2. Matriks kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom dengan beberapa baris. Ya, pada prinsipnya sama sih dengan sebelumnya. Perhatikan contoh matriks kolom berikut.
Ketiga matriks di atas memiliki kolom yang sama, yaitu satu. Namun, baris ketiganya berbeda. Dengan demikian, ordonya juga pasti berbeda. Matriks P memiliki ordo 3 × 1, Q memiliki ordo 4 × 1, dan R memiliki ordo 2 × 1.
3. Matriks nol
Matriks nol adalah matriks yang bernilai nol di semua elemennya. Perhatikan contoh matriks nol berikut.
4. Matriks persegi
Merupakan matriks yang memiliki jumlah baris yang sama dengan kolomnya, seperti matriks ordo 2 × 2, 3 × 3, dan seterusnya. Perhatikan contoh berikut.
5. Matriks segitiga atas
Merupakan bentuk matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol, sehingga seolah-olah berbentuk segitiga. Perhatikan contoh berikut.
Matriks segitiga atas biasanya digunakan sebagai dasar untuk mencari determinan dengan metode reduksi baris.
6. Matriks segitiga bawah
Merupakan matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan contoh berikut.
7. Matriks diagonal
Merupakan matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol, kecuali diagonal utamanya. Perhatikan contoh berikut.
8. Matriks identitas
Merupakan matriks diagonal yang setiap elemen diagonal utamanya bernilai satu. Perhatikan contoh berikut.
9. Matriks singular
Merupakan matriks yang determinannya bernilai nol. Artinya, kamu bisa menentukan singularitas matriks melalui perhitungan karena tidak bisa dilihat secara visual hanya dari bentuk matriksnya saja. Perhatikan contoh berikut.
Matriks P termasuk singular karena determinannya bernilai nol.
Det P = (2 × 8) – (4 × 4)
= 16 – 16
= 0
Sifat-Sifat Matriks
Sifat-sifat matriks berlaku pada saat matriks dioperasikan dengan matriks lain. Adapun sifat-sifatnya adalah sebagai berikut.
Sifat penjumlahan matriks
Penjumlahan hanya berlaku pada matriks yang memiliki ordo sama. Jika ordo antarmatriksnya berbeda, maka tidak bisa dilakukan penjumlahan. Misalnya, penjumlahan antarmatriks ordo 2 × 2, antarmatriks 3 × 3, dan seterusnya. Penjumlahan ini memenuhi sifat-sifat berikut.
- Sifat komutatif, yaitu sifat yang memenuhi A + B = B + A.
- Sifat asosiatif, yaitu sifat yang memenuhi (A + B) + C = A + (B + C).
- Sifat matriks nol, yaitu sifat yang memenuhi A + 0 = A.
Sifat pengurangan matriks
Sama seperti penjumlahan, pengurangan hanya berlaku untuk matriks berordo sama. Namun, sifat-sifat penjumlahan tidak berlaku pada pengurangan, kecuali sifat pengurangan dengan matriks nol, yaitu A – 0 = A.
Sifat perkalian matriks
Perkalian antara dua matriks bisa dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Misalnya matriks ordo 2 x 3 bisa dikalikan dengan ordo 3 x 2, matriks ordo 3 x 1 bisa dikalikan ordo 1 x 3, dan seterusnya. Ingat, ketentuan ini tidak bisa dibalik, ya. Pada perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut.
- Sifat asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C).
- Sifat distributif, yaitu A × (B + C) = (A × B) + (A × C).
- Perkalian dengan matriks nol akan menghasilkan matriks nol, yaitu A × 0 = 0.
Cara Menghitung Matriks
Cara menghitung matriks tentu tidak lepas dari operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Lantas, bagaimana cara menghitungnya?
Cara menghitung hasil penjumlahan matriks
Hasil penjumlahan matriks diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Misalnya elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1 dijumlahkan dengan elemen yang sama. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui dua buah matriks seperti berikut.
Tentukan hasil penjumlahan kedua matriks tersebut!
Pembahasan:
Jangan lupa untuk menjumlahkan elemen yang seletak.
Jadi, hasil penjumlahannya adalah sebagai berikut.
Cara menghitung hasil pengurangan matriks
Cara menghitung hasil pengurangan matriks sama dengan penjumlahan, yaitu mengurangkan elemen yang seletak. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui dua matriks seperti berikut.
Tentukan hasil pengurangan P – Q!
Pembahasan:
Berikut ini hasil pengurangannya.
Jadi, hasil pengurangannya adalah sebagai berikut.
Cara menghitung hasil perkalian matriks
Cara menghitung perkalian antara dua matriks adalah dengan mengalikan semua elemen baris matriks pertama dengan semua elemen kolom di matriks kedua secara berurutan. Perhatikan ilustrasi berikut.
Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham cara menghitung hasil operasi matriks?
Transpose Matriks
Saat belajar materi ini, tak lengkap rasanya jika belum belajar transpose. Apa sih transpose matriks itu? Transpose matriks adalah matriks baru yang dihasilkan oleh perpindahan elemen baris menjadi elemen kolom. Penulisan transpose matriks biasanya dinyatakan sebagai indeks (superscript) pada matriks awalnya, misal AT, PT, BT, dan seterusnya. Perhatikan ilustrasi berikut.
Dari ilustrasi di atas, perpindahan elemen baris menjadi kolom ditandai dengan warna garis putus-putus yang sama.
Contoh Soal Matriks
Untuk mengasah pemahamanmu tentang pembahasan kali ini, yuk simak contoh soal berikut.
Contoh soal 1
Diketahui persamaan matriks seperti berikut.
Tentukan nilai x – y!
Pembahasan:
Pada soal di atas, berlaku perkalian matriks. Oleh sebab itu, kamu harus menguraikan hasil perkaliannya.
Jadi, x – y = 2 – 4 = -2.
Contoh soal 2
Diketahui data ketersediaan beberapa merek vaksin di enam puskesmas.
| Puskesmas | Vaksin A | Vaksin B | Vaksin C | Vaksin D |
|---|---|---|---|---|
| Kecamatan 1 | Tidak ada | 120 sasaran | 100 sasaran | Tidak ada |
| Keamatan 2 | 10 sasaran | Tidak ada | 50 sasaran | 10 sasaran |
| Kecamatan 3 | 138 sasaran | 88 sasaran | Tidak ada | 5 sasaran |
| Kecamatan 4 | Tidak ada | 100 sasaran | 70 sasaran | Tidak ada |
| Kecamatan 5 | 1 sasaran | Tidak ada | Tidak ada | 128 sasaran |
| Kecamatan 6 | 20 sasaran | 90 sasaran | 50 sasaran | TIdak ada |
Buatlah bentuk matriks dari data di atas!
Pembahasan:
Untuk membuat matriks, kamu hanya perlu melihat banyaknya baris dan kolom yang tertera pada tabel. Data pada tabel di atas akan membentuk matriks ordo 6 × 4 seperti berikut.
Ternyata, cara membuatnya sangat mudah kan?
Contoh soal 3
Diketahui dua transpose matriks seperti berikut.
Berapakah hasil perkalian antara D dan E?
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mencari komposisi matriks awalnya, yaitu D dan E.
Dengan demikian, hasil perkalian antara D dan E adalah sebagai berikut.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!