Komplemen Himpunan: Pegertian dan Cara Menentukan Komplemennya

5.5K

Saat membahas himpunan, apakah Quipperian pernah membaca/ mendengar istilah komplemen A? Lalu, apa itu komplemen himpunan? Komplemen himpunan A merupakan anggota himpunan semesta yang tidak termasuk anggota himpunan A.

Jika masih bingung, Quipperian tidak perlu khawatir karena artikel ini akan membahas tentang pengertian komplemen himpunan, sifat-sifat, cara menentukan komplemen, dan contoh soalnya. Yuk, simak selengkapnya!

Pengertian Komplemen Himpunan

Komplemen himpunan adalah semua anggota himpunan semesta yang tidak termasuk anggota himpunan lain yang dibentuk dari himpunan semesta tersebut. Misalnya, komplemen himpunan A beranggotakan semua anggota himpunan semesta yang tidak termasuk anggota himpunan A. Simbol komplemen himpunan ini biasa dinyatakan sebagai A^C. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

S = {I, N, D, O, E, S, A}

A = (E, A, O, D}

Komplemen himpunan A (A^C) = {I, N, S}

Contoh 2

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {3, 4, 5}

A^C = {1, 2, 6, 7}

Sifat Komplemen Himpunan

Adapun sifat-sifatnya adalah sebagai berikut.

1. A ∪ A^C = S
   Secara matematis, bisa diraikan menjadi A ∪ A^C = {x|(x ∈ A) ∪ (x ∈ S, x ∉ A)}.
   
   Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa A merupakan anggota himpunan S. Sementara itu, A^C bukan termasuk anggota himpunan A, namun masih anggota himpunan S. Oleh sebab itu, gabungan (union) dari himpunan A dan komplemennya merupakan himpunan semesta. Lantas, bagaimana jika A merupakan himpunan kosong? Jika A himpunan kosong, maka A^C = S.
   
2. S^C = ∅
   Mungkin Quipperian bertanya-tanya, apa maksud sifat nomor 2 ini? Seperti Quipperian ketahui bahwa himpunan semesta (S) berisi seluruh anggota objek suatu himpunan. Artinya, komplemen himpunan semesta itu tidak ada karena tidak mungkin ada anggota himpunan di luar himpunan semesta. Perhatikan contoh berikut.
   
   S = { A, B, C, D, E, F, G}
   
   S^C = ∅
   
3. A ∩ A^C = ∅
   Artinya, tidak ada anggota himpunan A yang menjadi bagian anggota komplemen himpunan A. Hal itu karena komplemen merupakan anggota semesta yang bukan anggota {A}. Perhatikan contoh berikut.
   S = {a, b, d, i, n, u}
   A = {d, i, a, n}
   A^C = {b, u}
   
   Dari contoh di atas, terlihat bahwa tidak ada anggota himpunan A yang menjadi bagian komplemennya.
   
4. (A^C)^C = A
   Jika anggota komplemen A bukan termasuk anggota {A}, maka komplemen dari komplemen himpunan A sudah pasti himpunan A itu sendiri. Perhatikan contoh berikut ini.
   S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
   A = {4, 6, 12}
   A^C = {2, 8, 10, 14}
   
   Dari contoh di atas, coba Quipperian tentukan hasil komplemen dari komplemen himpunan A! Artinya, kamu harus mencari anggota himpunan semesta yang bukan termasuk anggota komplemen himpunan A. Sudah pasti jawabannya himpunan A itu sendiri. Sampai sini, sudah paham kan?
   
5. Jika A termasuk himpunan bagian B (A ⊂  B), maka berlaku B^C ⊂ A^C. Artinya, semua anggota komplemen himpunan B termasuk anggota komplemen himpunan A. Perhatikan contoh berikut.
   S = { 1, a, 2, b, 3, c, 4, d}
   B = {a, b, c, d}
   A = {a, b}
   B^C = {1, 2, 3, 4}
   A^C = {1, 2, 3, c, 4, d}
   
   Dari penjabaran di atas, terlihat bahwa setiap anggota komplemen himpunan B termasuk anggota komplemen himpunan A. Namun, tidak semua anggota komplemen A termasuk anggota komplemen B (A^C ⊄  B^C).
   
6. B ∪ A^C = S
   Gabungan antara himpunan B dan komplemen A merupakan anggota himpunan semesta. Perhatikan contoh berikut.
   S = {1, a, 2, b, 3, c, 4, d}
   B = {a, b, c, d}
   A = {a, b}
   A^C = {1, 2, 3, c, 4, d}
   
   Dari penjabaran tersebut terlihat bahwa gabungan antara himpunan B dan komplemen menunjukkan himpunan semesta.

Cara Menentukan Komplemen Himpunan

Agar Quipperian semakin paham bagaimana cara menentukan komplemen himpunan? Perhatikan langkah berikut.

1. Tentukan himpunan semesta dan himpunan bagian yang diketahui.
   Misalnya, kamu diminta untuk menentukan himpunan semesta dari bilangan asli yang kurang dari sebelas dan himpunan A, yaitu bilangan prima kurang dari 10.
   
2. Tuliskan semua anggota himpunannya.
   Himpunan semesta dari bilangan asli yang kurang dari 11 bisa dinyatakan sebagai berikut.
   S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
   A = {2, 3, 5, 7}
   
3. Barulah Quipperian bisa menentukan komplemennya.
   Ingat, komplemen merupakan anggota himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A. Dengan demikian,
   A^C = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

Contoh Soal Komplemen Himpunan

Agar pemahamanmu semakin terasah, yuk simak contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Perhatikan diagram Venn berikut.

Tentukan anggota himpunan semesta dan komplemen himpunan A dari diagram tersebut!

Pembahasan:

Anggota himpunan semesta {S} = {a, b, g, i, l, m, u}

Anggota himpunan A {A} = {g, u, l, a, i}

Komplemen A {A^C} = {b, m}

Jadi, komplemen himpunan A dari diagram tersebut adalah {b, m}.

Contoh soal 2

Banyaknya siswa kelas 5 SD Pelita Sakti adalah 40 orang. Siswa yang gemar membaca buku berjumlah 15 orang. Tentukan banyaknya anggota komplemen siswa yang gemar membaca buku!

Pembahasan:

Diketahui:

n(S) = 40

n(B) = 15

n(B^C) = 40 – 15

        = 25 orang

Jadi, banyaknya anggota komplemen siswa kelas 5 SD Pelita Sakti yang gemar membaca buku adalah 25 orang.

Contoh soal 3

Perhatikan ketiga himpunan berikut.

S = {1, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20}

B = {4, 6, 8, 12}

A = {6, 12}

Tentukan hasil dari (A ∪ B)^C dan (B ∩ A^C)!

Pembahasan:

• Tentukan hasil (A ∪ B)^C.

A ∪ B = {4, 6, 8, 12}

(A ∪ B)^C = {1, 14, 18, 20}

• Tentukan hasil (A^C ∩ B).

A^C = {1, 4, 8, 14, 18, 20}

(B ∩ A^C) = {4, 8}

Jadi, hasil dari (A ∪ B)^C dan (B ∩ A^C) berturut-turut adalah {1, 14, 18, 20} dan {4, 8}.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Tetap semangat dan salam Quipper!