Hai Quipperian, apakah kamu sudah pernah belajar tentang matriks? Matriks merupakan bentuk penulisan angka secara matematis yang melibatkan baris dan kolom. Di dalam kehidupan sehari-hari, matriks bisa digunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan linear, misalnya persamaan linear dua variabel. Nah persamaan linear dua variabel itu bisa dinyatakan dalam bentuk matriks 2 x 2, lho. By the way, saat membahas matriks, pasti kamu akan dikenalkan dengan istilah invers. Pada artikel ini, Quipper Blog akan mengajak Quipperian untuk belajar tentang invers matriks 2 × 2. Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Matriks 2 × 2
Sebelum membahas lebih lanjut tentang invers matriks 2 x 2, kamu harus tahu dulu apa itu matriks 2 x 2. Matriks 2 x 2 adalah matriks yang memiliki 2 baris dan 2 kolom. Adapun contoh matriks 2 x 2 adalah sebagai berikut.
Oleh karena jumlah baris dan kolomnya sama, maka matriks 2 x 2 termasuk matriks persegi. Konsekuensi dari matriks persegi adalah memiliki determinan dan invers.
Invers Matriks 2 × 2
Saat membahas matriks persegi, pasti kamu akan dikenalkan dengan istilah invers. Invers matriks adalah kebalikan matriks asal yang dinyatakan dalam bentuk matriks baru. Setiap elemen matriks baru ini merupakan hasil operasi elemen matriks asalnya. Hasil perkalian antara matriks asal dan inversnya selalu menghasilkan matriks identitas . Penulisan invers matriks sama dengan matriks asal, namun ada tambahan pangkat -1. Misalnya, matriks asal P, maka inversnya dinyatakan sebagai P-1. Invers matriks juga bisa digunakan untuk menentukan nilai suatu variabel seperti rumus berikut.
Dengan:
P = matriks awal;
X = matriks variabel;
P-1 = invers matriks; dan
Q = matriks hasil.
Langkah Mencari Invers Matriks 2 × 2
Sebenarnya, invers matriks 2 x 2 bisa kamu tentukan secara rinci dari matriks asalnya menggunakan prinsip perkalian sedemikian sehingga menghasilkan matriks identitas. Hanya saja, cara itu terlalu panjang. Lalu, bagaimana cara menentukan invers matriks 2 × 2? Untuk menentukan invers matriksnya, gunakan persamaan berikut.
Apa itu “det” dan “adjoin”?
Det merupakan determinan matriks dan adjoin merupakan elemen kofaktor matriks yang ditransposkan (CT).
Agar kamu tidak bingung, yuk ikuti langkah-langkah berikut.
- Tentukan determinan matriksnya dahulu dengan cara mengurangkan hasil perkalian elemen pada diagonal utama dan diagonal sekunder. Contoh:
Hasil perkalian diagonal utama = 1 × 5 = 5.
Hasil perkalian diagonal sekunder = 2 × (-1) = -2
Determinan P = 5 – (–2) = 7.
- Tentukan adjoin dari matriksnya. Caranya dengan menukar elemen matriks pada baris ke-1 kolom ke-1 dengan elemen matriks pada baris ke-2 kolom ke-2. Lalu, kalikan elemen matriks baris ke-1 kolom ke-2 dan baris ke-2 kolom ke-1 dengan (–1). Contoh:
- Lakukan pembagian antara adjoin matriks dengan determinannya sesuai persamaan berikut.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Tentukan invers matriks dari
Pembahasan:
Mula-mula kamu harus menentukan determinan matriksnya.
Selanjutnya, tentukan adjoin P.
Terakhir, tentukan invers matriks P dengan persamaan berikut.
Jadi, invers matriksnya adalah sebagai berikut.
Jika dibandingkan matriks persegi lain seperti matriks 3 x 3, cara menentukan invers matriks 2 x 2 ini tergolong mudah dan tidak butuh langkah yang panjang.
Penerapan Invers Matriks 2 × 2
Adapun penerapan invers matriks 2 x 2 dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut.
- Menentukan harga satuan barang atau jasa dari total harga yang diketahui.
Misalnya kamu membeli 2 porsi nasi goreng dan 3 gelas es jeruk seharga Rp60.000. Lalu, temanmu datang membeli 3 porsi nasi goreng dan 5 gelas es jeruk seharga Rp80.000. Kira-kira, berapa harga seporsi nasi goreng dan satu gelas es jeruk? Untuk menentukannya, kamu bisa menggunakan invers matriks, ya.
- Menerjemahkan kode sandi rahasia yang telah terenkripsi.
Mungkin sebagian orang memiliki keahlian untuk menerjemahkan kode sandi rahasia. Untuk itulah, si pemilik sandi harus benar-benar memastikan keamanan sandinya, sehingga sulit diterjemahkan oleh orang lain. Caranya adalah dengan memanfaatkan matriks enkripsi. Nah, kode yang sudah terenkripsi bisa dikembalikan menjadi bentuk asalnya melalui invers matriks enkripsinya.
Contoh Soal Invers Matriks 2 × 2
Untuk mengasah kemampuanmu, yuk simak beberapa contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Tentukan invers matriks berikut.
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus menentukan determinannya dahulu.
Selanjutnya, tentukan adjoin matriks S.
Dengan demikian, invers matriks S adalah sebagai berikut.
Jadi, invers matriksnya adalah sebagai berikut.
Contoh Soal 2
Diketahui invers matriks P adalah sebagai berikut.
Tentukan matriks P!
Pembahasan:
Ingat, perkalian antara matriks P dengan invers matriksnya akan menghasilkan matriks identitas. Dengan demikian:
Misalkan, elemen matriks Pnya dengan variabel a, b, c, dan d seperti berikut.
Untuk menentukan nilai a, b, c, dan d, gunakan metode eliminasi atau substitusi.
Nilai a dan b
Dari perhitungan diperoleh nilai a = -6 dan b = -1
Nilai c dan d
Dari perhitungan diperoleh c = 10 dan d =2.
Dengan demikian, matriks P adalah sebagai berikut.
Contoh Soal 3
Dua kelompok pemotor sedang singgah di suatu tempat makan. Kelompok pertama memesan 3 porsi rawon dan 4 gelas es degan. Kelompok kedua memesan 5 porsi rawon dan 3 gelas es degan. Jika total harga yang harus dibayarkan kelompok pertama Rp82.000 dan kelompok kedua Rp122.000, tentukan harga seporsi rawon dan satu gelas es degan menggunakan invers matriks!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus memisalkan rawon dan es degan dengan variabel tertentu. Kali ini, Quipper Blog akan memisalkan rawon sebagai x dan es degan sebagai y. Lalu, buatlah sistem persamaan linear dari dua keadaan pada soal.
Kelompok 1
3 porsi rawon dan 4 gelas es degan = Rp82.000
3x + 4y = 82.000
Kelompok 2
5 porsi rawon dan 3 gelas es degan = Rp122.000
5x + 3y = 122.000
Setelah mendapatkan bentuk persamaan linearnya, ubahlah persamaan tersebut dalam bentuk matriks 2 x 2.
Berdasarkan rumus diperoleh:
Dari perhitungan di atas, diperoleh x = 22.000 dan y = 4.000. Artinya, harga seporsi rawon adalah Rp22.000 dan harga satu gelas es degan adalah Rp4.000.
Jadi, harga seporsi rawon dan satu gelas es degan berturut-turut adalah Rp22.000 dan Rp4.000.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!