Hai Quipperian, saat belajar Matematika, pernahkah kamu diminta untuk menentukan luas bengun di bawah kurva? Misalnya, diketahui kurva gaussian, lalu kamu diminta untuk menentukan luasan mulai x = a sampai x = b? Coba perhatikan, luasan di bawah kurva itu bersifat kontinu, artinya tidak terputus-putus. Nah, cara paling mudah untuk menyelesaikan luasan di bawah kurva itu adalah menggunakan sistem integral tentu. Lalu, apa yang dimaksud integral tentu? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Integral Tentu
Integral tentu (definite integral) adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan. Dalam Matematika, integral tentu bisa dimanfaatkan untuk mencari luasan di bawah kurva, volume benda putar yang dibatasi oleh titik-titik tertentu, luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertentu, dan masih banyak lainnya. Adapun contoh penulisan integral tertentu adalah sebagai berikut.
Dengan:
a = batas bawah; dan
b = batas atas.
Dari bentuk di atas, tentu kamu tahu kan perbedaan mendasar antara integral tentu dan tak tentu? Yapp, benarr. Perbedaan mendasar antara kedua integral terletak pada ada tidaknya batas-batas variabel, ya. Sementara itu, untuk langkah pengerjaan integralnya sama.
Sifat-Sifat Integral Tentu
Sifat-sifat integral tentu berkaitan dengan kelinearitasannya, perubahan batas, serta penambahan batas. Adapun sifat-sifat yang dimaksud adalah:
Sifat Kelinearitasan
Sifat kelinearitas integral tentu sama seperti sifat-sifat integral tak tentu, yakni sebagai berikut.
Sifat pertama
Sifat pertama merupakan sifat integral yang memuat suatu konstanta di depan fungsi seperti berikut.
Sifat kedua
Sifat kedua berlaku pada integral penjumlahan dua fungsi seperti berikut.
Proses integral penjumlahan dua fungsi bisa kamu jabarkan menjadi jumlah integral masing-masing fungsinya dengan batas yang sama.
Sifat ketiga
Sifat ketiga berkaitan dengan integral pengurangan dua fungsi.
Konsepnya sama dengan penjumlahan ya. Hanya saja pada pengurangan tidak berlaku sifat komutatif di mana a – b ≠ b – a.
Sifat Perubahan Batas
Sifat ini berlaku jika terdapat perubahan batas-batas integral. Perubahan itu bisa pembalikan batas atau penambahan batas.
Sifat pembalikan batas
Batas integral suatu fungsi bisa dibalik dari a hingga b menjadi b hingga a, dengan syarat tanda fungsinya harus berlawanan, yakni sebagai berikut.
Apakah hasilnya sama? Sudah tentu sama, ya. Jika tidak percaya, buktikan hasil integral berikut.
Sifat penambahan batas
Selain dibalik, kamu juga bisa menambahkan batas-batas integral, misanya dari a hingga b menjadi a hingga c. Penambahan batas ini bisa kamu selesaikan dengan sifat berikut.
Batas a hingga c bisa diuraikan menjadi a hingga b lalu b hingga c.
Penerapan Integral Tentu
Di dalam Matematika, sistem integral tentu ini biasa diterapkan untuk menyelesaikan masalah terkait fungsi kontinu. Misalnya, menentukan luasan di bawah kurva dan menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh beberapa fungsi. Bagaimana caranya? Yuk, simak penjabaran di bawah ini.
Menentukan Luasan di bawah Kurva f(x) yang dibatasi Sumbu-x
Apakah kamu pernah menjumpai soal-soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah kurva? Jika kurvanya berupa garis lurus, tentu cukup mudah ya, karena kamu bisa menggunakan rumus luas bangun datar. Namun, bagaimana jika kurvanya berupa garis lengkung?
Misalnya, daerah S berada di bawah kurva lengkung f(x) (syarat f(x) > 0) dan di atas sumbu-x dengan batas bawah x = a dan batas atas x = b seperti berikut.
Untuk menentukan luas daerah S, kamu bisa menggunakan sistem integral tentu seperti berikut.
Dengan:
LS = luas S;
a = batas bawah;
b = batas atas; dan
f(x) = fungsi kurva.
Ingat, jika kurvanya berada di bawah sumbu-x dan di sebelah kiri sumbu-y, maka kamu harus menambahkan tanda negatif di depan persamaan integralnya.
Agar semakin paham, simak contoh berikut.
Tentukan luas daerah di bawah kurva f(x) = x2 + 1 yang dibatasi oleh sumbu-x dengan batas bawah x = -1 dan batas atas x = 0!
Pembahasan:
Mula-mula, gambarkan terlebih dahulu luas daerah yang dimaksud.
Oleh karena luas daerah yang dimaksud berada di sebelah kiri sumbu-y, maka kamu harus menambahkan tanda negatif di depan persamaan integralnya, yakni sebagai berikut.
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 2/3 satuan luas.
Menentukan Luasan yang Dibatasi oleh Dua Kurva, f(x) dan g(x)
Sebelumnya, kamu sudah belajar cara menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu-x. Kali ini, kamu akan belajar menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dengan fungsi berbeda. Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan bahwa daerah S dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan batas bawah x = a dan batas atas x = b. Luas daerah S bisa ditentukan dengan persamaan integral berikut.
Dengan ketentuan: f(x) ≥ g(x).
Ada poin penting yang harus Quipperian perhatikan saat menyelesaikan luas yang dibatasi dua kurva, yakni kurva yang membatasi luas daerah bagian atas berfungsi sebagai f(x). sementara kurva yang membatasi luas daerah bagian bawah berfungsi sebagai g(x). Itu artinya, penentuan f(x) maupun g(x) tidak boleh asal.
Agar semakin paham, yuk simak contoh berikut.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 3x dan y = x2 dengan batas bawah x = 0 sampai x = 1!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus menggambarkan luas daerah yang dimaksud.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 3x dan y = x2 dengan batas bawah x = 0 sampai x = 1 diberi arsiran warna biru. Dari gambar di atas, terlihat bahwa bagian atas daerah yang diarsir dibatasi oleh y =- x2 + 3x dan bagian bawahnya dibatasi y = x2. Untuk menentukan luas daerah tersebut, gunakan persamaan berikut.
Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 3x dan y = x2 dengan batas bawah x = 0 sampai x = 1 adalah 5/6 satuan luas.
Menentukan Volume Benda Putar Satu Kurva yang Mengelilingi Sumbu-x
Siapa sangka jika volume benda putar bisa tentukan dengan mekanisme integral lho. Misalnya, suatu kurva diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o seperti berikut ini.
Untuk menentukan volume hasil putaran kurva mengelilingi sumbu-x, gunakan persamaan seperti di bawah ini.
Dengan:
V = volume benda putar;
f(x) = fungsi kurva;
a = batas bawah; dan
b = batas atas.
Menentukan Volume Benda Putar Satu Kurva Mengelilingi Sumbu-y
Mekanisme integral juga bisa digunakan untuk menentukan volume benda putar satu kurva yang diputar mengelilingi sumbu-y. Jika digambarkan, menjadi seperti berikut.
Daerah hasil putaran memiliki batas bawah y = c dan batas atas y = d. Lalu, bagaimana cara menentukan volume benda putar tersebut? Untuk menentukan volumenya, gunakan persamaan berikut.
Dengan:
V = volume benda putar;
f(y) = fungsi kurva;
c = batas bawah; dan
d = batas atas.
Menentukan Volume Benda Putar Dua Kurva Mengelilingi Sumbu-x
Apabila dua kurva yang saling sejajar diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o, maka akan terbentuk daerah volume seperti berikut.
Volume benda putar terhadap sumbu-x yang dibatasi oleh dua kurva bisa ditentukan dengan persamaan di bawah ini.
Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut bisa ditentukan dengan persamaan di bawah ini.
Menentukan Volume Benda Putar Dua Kurva Mengelilingi Sumbu-y
Langkah untuk menentukan volume benda putar dua kurva mengelilingi sumbu-y ini diawali sama seperti benda putar lain, yakni menggunakan mekanisme integral.
Adapun persamaan integral untuk menentukan volume benda putar di atas adalah sebagai berikut.
Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham?
Jika sudah, yuk beralih ke contoh soal!
Contoh Soal Integral Tentu
Contoh soal integral kali ini berkaitan dengan volume benda putar, ya.
Contoh Soal 1
Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh y = x + 3 dan diputar 360o terhadap sumbu-x dengan batas x = 1 dan x = 3!
Pembahasan:
Volume benda putarnya bisa kamu tentukan dengan cara berikut.
Jadi, volume benda putarnya satuan volume.
Contoh Soal 2
Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan diputar terhadap sumbu-y sejauh 360o!
Pembahasan:
Oleh karena diputar terhadap sumbu-y, maka kamu harus mengubah persamaan fungsinya dalam y.
Selanjutnya, tentukan batas pada sumbu-y dengan menggambarkan fungsi tersebut pada koordinat Cartesius.
Dari kurva di atas diperoleh batas bawahnya y = 0 dan batas atas y = 9.
Lalu, substitusikan nilai x2 pada persamaan volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu-y.
Jadi, volume benda putarnya adalah satuan volume.
Contoh Soal 2
Diketahui kurva .
Tentukan perbandingan volume benda putarnya jika kurva diputar mengelilingi sumbu-x dan sumbu-y sejauh 360o dengan batas bawah x = 0 dan batas atas x = 4!
Pembahasan:
Mula-mula, gambarkan dahulu bentuk kurvanya agar kamu tahu batas-batas yang memenuhi pada sumbu-y.
Jika batas bawah sumbu-x = 0 dan batas atasnya = 4, maka dihasilkan batas bawah sumbu-y = 0 dengan batas atas = 6. Itu artinya:
- x = 0 dan x = 4
- y = 0 dan y = 6
Lalu, tentukan volume benda putar jika kurva diputar sejauh 360o terhadap sumbu-x.
Selanjutnya, tentukan volume benda putar jika kurva diputar terhadap sumbu-y sejauh 360o.
Substitusikan nilai x2 pada persamaan volume benda putar Vy.
Dengan demikian, perbandingan antara VX dan VY adalah sebagai berikut.
Jadi, perbandingan volume benda saat kurva diputar terhadap sumbu-x dan sumbu-y adalah 5 : 4.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!