Hai Quipperian, tentu kamu sudah pernah belajar tentang turunan, kan? Misalnya, diketahui fungsi posisi suatu benda. Untuk menentukan kecepatan benda, fungsi tersebut harus kamu turunkan terhadap variabel fungsinya. Ternyata, turunan memiliki kebalikan yang bernama antiturunan, lho. Nah, antiturunan itu biasa dikenal sebagai integral. Di artikel ini, Quipper Blog akan mengajak Quipperian untuk membahas salah satu jenis integral, yakni integral tak tentu. Apa yang dimaksud integral tak tentu? Yuk, simak selengkapnya!
Pengertian Integral Tak Tentu
Integral tak tentu (indefinite integral) adalah integral yang tidak memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hanya diperoleh fungsi umumnya saja disertai suatu konstanta C. Setiap bentuk operasi matematis pasti memiliki operasi kebalikan atau invers, seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, akar dan pangkat. Kebalikan itu juga berlaku pada turunan, di mana kebalikan dari turunan adalah integral. Saat belajar turunan, pasti kamu akan mendapatkan penulisan suatu fungsi disertai tanda petik, seperti f’(x), kan? Arti f’(x) adalah turunan dari fungsi f(x). Lantas, bagaimana cara mendapatkan f(x) jika yang diketahui f’(x)? Nah, f(x) bisa diketahui dengan cara mengintegralkan fungsi f’(x) terhadap dx. Lambang integral menyerupai huruf “S”. Hanya saja lekukan perutnya datar, yakni “”. Fungsi yang akan diintegralkan diletakkan tepat di depan tanda tersebut, contoh .
Persamaan Dasar Integral Tak Tentu
Persamaan dasar integral tak tentu merupakan rumus umum untuk mengonversi fungsi turunan menjadi fungsi integral. Adapun persamaan dasarnya adalah sebagai berikut.
, syarat n ≠ -1
Persamaan di atas menunjukkan bahwa proses integrasi menyebabkan kenaikan pangkat suatu fungsi, di mana fungsi awalnya berpangkat n dan fungsi integrasinya berpangkat n + 1.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan hasil integral dari !
Pembahasan:
Untuk menentukan hasilnya, kamu hanya perlu mengubah hasil integral itu sesuai persamaan dasarnya.
Hasil, integralnya berada di dalam tanda kotak.
Sifat-Sifat Integral Tak Tentu
Sifat-sifat integral tak tentu adalah bentuk lain dari operasi integral sedemikian sehingga bisa memudahkanmu dalam menyelesaikan permasalahan terkait integral. Adapun sifat-sifat integral tak tentu adalah sebagai berikut.
Sifat Pertama
Sifat pertama berkaitan dengan integral suatu fungsi yang memuat suatu konstanta seperti:
Jika kamu menjumpai bentuk seperti di atas, keluarkan saja konstanta k dari tanda integral, sehingga kamu bisa fokus menyelesaikan integral fungsinya. Contoh:
Sifat Kedua
Sifat kedua berlaku untuk penjumlahan dua fungsi di dalam integral seperti berikut.
Dua fungsi yang dijumlahkan dalam satu tanda integral bisa kamu ubah menjadi penjumlahan integral masing-masing fungsinya. Sifat ini bisa memudahkanmu dalam menyelesaikan fungsi-fungsi yang cukup panjang. Misalnya:
Sifat Ketiga
Sifat ketiga berlaku untuk pengurangan dua fungsi di dalam satu tanda integral. Konsepnya sama seperti penjumlahan dua fungsi, ya.
Ingat, pada pengurangan tidak berlaku sifat komutatif ya.
Lalu, bagaimana dengan perkalian dua fungsi integral? Pada perkalian dua fungsi, kamu harus mengalikan semua elemen fungsi tersebut satu persatu hingga dihasilkan bentuk penjumlahan. Misalnya, (x – 2)(x + 5) = x2 + 3x – 10.
Namun, khusus perkalian dan pembagian dua fungsi di dalam integral, akan kamu pelajari di bab lain, yaitu bab integral parsial dan substitusi.
Sampai sini, apakah kamu sudah paham?
Masalah yang Berkaitan dengan Integral Tak Tentu
Siapa bilang integral itu hanya simbol matematis belaka. Nyatanya, ada beberapa permasalahan yang bisa diselesaikan dengan konsep integral tak tentu. Adapun contoh masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu adalah sebagai berikut.
Menentukan Fungsi suatu Kurva dari Gradien yang Diketahui
Seperti kamu ketahui bahwa gradien merupakan turunan pertama dari fungsi suatu kurva. Jika diketahui persamaannya gradien lalu kamu diminta untuk menentukan kurvanya, maka integralkan fungsi gradien yang diketahui tersebut.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh ya.
Suatu garis menyinggung kurva f(x). Kurva tersebut melalui titik (1, 2). Jika gradien garis singgungnya dinyatakan sebagai f’(x) = 2x + 5, tentukan persamaan kurvanya!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan dahulu fungsi kurvanya, yaitu dengan mengintegralkan fungsi gradien garis singgung.
Oleh karena kurva melalui titik (1, 2), maka substitusikan x = 1 dan f(x) = 2 pada persamaan kurva di atas.
Jadi, persamaan kurvanya adalah f(x) = x2 + 5x – 4.
Menentukan Fungsi Kecepatan dan Posisi
Di dalam Fisika, pasti kamu sudah dikenalkan dengan istilah posisi, kecepatan, dan percepatan, kan? Ternyata, ketiga besaran itu saling berkaitan, lho. Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi posisi dan percepatan merupakan turunan pertama fungsi kecepatan. Itu artinya, kamu bisa menentukan fungsi kecepatan dari fungsi percepatan. Caranya dengan memanfaatkan sistem integral. Begitu juga dengan fungsi posisi bisa diketahui dari fungsi kecepatan ataupun fungsi percepatan. Berikut ini persamaan integralnya.
Dengan:
a(t) = fungsi percepatan;
v(t) = fungsi kecepatan;
s(t) = fungsi posisi; dan
C = suatu konstanta.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh di bawah ini.
Suatu partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 6t2 – 4t. Jika jarak tempuh partikel saat t = 1 s adalah 2 m, tentukan fungsi posisi partikel tersebut!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan dahulu fungsi posisinya dengan cara mengintegralkan fungsi kecepatan di atas.
Lalu, substitusikan t = 1 s dan s(1) = 2 pada persamaan fungsi posisi di atas.
Jadi, persamaan fungsi posisinya adalah s(t) = 2t3 – 2t2 + 2.
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Ternyata, tidak hanya fungsi aljabar yang bisa diintegralkan, tapi juga fungsi trigonometri. Adapun bentuk integral fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.
Jika kamu menjumpai soal-soal integral trigonometri, lakukan manipulasi fungsi sedemikian sehingga mengarah pada bentuk di atas, ya.
Contoh Soal Integral Tak Tentu
Setelah belajar materi, kini saatnya beralih pada contoh soal. Yuk, semangat!
Contoh Soal 1
Tentukan hasil integral berikut.
Pembahasan:
Contoh soal nomor 1 ini berkaitan dengan sifat kedua integral tak tentu, yaitu integral penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah integral masing-masing fungsinya.
Jadi, hasil integralnya adalah 32×4+43×3-37x+C.
Contoh Soal 2
Garis k menyinggung suatu kurva yang memiliki persamaan f(x) dengan fungsi gradien sebagai berikut.
m(x) = 3x – 4
Jika kurva tersebut melalui titik (0, 3), tentukan persamaan kurva yang dimaksud!
Pembahasan:
Diketahui:
m(x) = 3x – 4
Mula-mula, tentukan dahulu fungsi kurvanya, yaitu dengan mengintegralkan fungsi gradien garis singgung.
Oleh karena kurva melalui titik (0, 3), maka substitusikan x = 0 dan f(0) = 3 pada persamaan kurva di atas.
Jadi, persamaan kurvanya adalah
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!
Contoh Soal 3
Tentukan hasil integral dari fungsi berikut.
Pembahasan:
Adapun hasil dari integralnya adalah sebagai berikut.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!