Hai Quipperian, apakah kamu memiliki satu uang koin 1.000 tahun 2010? Jika memiliki, cobalah untuk melemparkan satu uang koin tersebut. Kira-kira, bagian koin apa ya yang akan muncul? Dalam hal ini hanya ada dua kemungkinan ya, yaitu gambar atau angka. Jika pelemparan ini kamu lakukan berkali-kali, sejatinya kamu telah melakukan percobaan binomial. Nah, percobaan ini menghasilkan suatu peluang yang nantinya akan didistribusikan dalam bentuk distribusi binomial. Lalu, apa yang dimaksud distribusi binomial? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Distribusi Binomial
Binomial identik dengan kata “dua”. Distribusi binomial adalah distribusi yang memuat suatu kejadian dengan dua kemungkinan saja. Misalnya distribusi binomial peluang munculnya gambar atau peluang muncul angka pada pelemparan uang koin. Distribusi binomial ini termasuk dalam statistika inferensial, yaitu statistika yang berperan dalam proses analisis data. Saat membahas distribusi binomial, kamu akan dikenalkan dengan istilah variabel acak binomial, yakni variabel yang diperoleh dari hasil percobaan binomial.
Baca Juga: Pengertian Operasi Matriks, Jenis dan Contoh
Syarat Percobaan Binomial
Suatu percobaan dikatakan binomial jika memenuhi syarat-syarat tertentu. Adapun syarat-syarat percobaan binomial adalah sebagai berikut.
- Percobaan dilakukan lebih dari satu kali atau secara berulang-ulang.
- Percobaan termasuk kejadian saling bebas atau bersifat independen. Artinya, hasil suatu percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya.
- Setiap kejadian memiliki peluang tetap untuk setiap percobaan, di mana peluang itu biasa dilambangkan sebagai p.
- Setiap kejadian hanya memiliki dua kemungkinan, sukses atau gagal.
Pada kasus pelemparan satu koin Rp1.000 secara berulang-ulang tadi, apakah benar memenuhi percobaan binomial? Yuk, kita analisis bersama.
- Pelemparan koin dilakukan secara berulang-ulang. (Memenuhi syarat pertama)
- Hasil pelemparan koin pertama tidak akan pernah mempengaruhi pelemparan koin kedua dan seterusnya. (Memenuhi syarat kedua)
- Pelemparan itu akan menghasilkan dua kemungkinan saja, yaitu gambar atau angka. Jika gambar kamu anggap sukses, maka angka dianggap gagal. (Memenuhi syarat keempat)
- Peluang muncul angka dan gambar akan selalu tetap di semua pelemparan, yaitu 0,5 dan 0,5. (Memenuhi syarat ketiga)
Oleh karena semua syarat terpenuhi, maka pelemparan koin secara berulang kali tersebut termasuk percobaan binomial.
Dari percobaan-percobaan binomial itu, kamu akan mendapatkan suatu variabel yang disebut variabel acak binomial.
Rumus Distribusi Binomial
Tentu Quipperian sudah paham kan jika kemungkinan yang akan muncul pada setiap percobaan binomial hanya ada dua? Yaitu, kemungkinan gagal atau kemungkinan sukses? Jika dijumlahkan, total peluang kemungkinan gagal dan sukses itu sama dengan 1. Mengingat, nilai tertinggi suatu peluang adalah satu. Lalu, bagaimana bila kamu diminta untuk menentukan peluang suatu kejadian dari percobaan yang berulang-ulang? Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus distribusi binomial seperti di bawah ini.
Rumus Distribusi Binomial
Berikut ini merupakan rumus peluang suatu variabel acak dari beberapa percobaan binomial.
Dengan:
P(x) = peluang variabel acak;
n = banyaknya percobaan;
x = jumlah kejadian yang diharapkan (x = 0, 1, 2, 3, dst);
p = peluang kejadian sukses atau yang diharapkan; dan
q = peluang kejadian gagal atau yang tidak diharapkan.
Rumus Distribusi Binomial Kumulatif
Rumus distribusi binomial kumulatif ini berlaku untuk menentukan peluang suatu kejadian yang diharapkan muncul paling banyak x kali dari beberapa percobaan. Rumusnya sama persis dengan rumus sebelumnya, yaitu:
Dengan:
P(x) = peluang variabel acak;
n = banyaknya percobaan;
x = jumlah kejadian yang diharapkan (x = 0, 1, 2, 3, dst);
p = peluang kejadian sukses atau yang diharapkan; dan
q = peluang kejadian gagal atau yang tidak diharapkan.
Apakah pada pelemparan dadu berlaku percobaan binomial? Kan, ada lebih dari dua kemungkinan mata dadu yang muncul? Ternyata pada pelemparan dadu juga berlaku percobaan binomial, lho. Misalnya, pada pelemparan dua dadu ditanyakan muncul mata dadu berjumlah 3. Dari kasus tersebut, munculnya mata dadu berjumlah tiga merupakan kejadian yang diharapkan atau kejadian sukses. Sementara, mata dadu yang jumlahnya tidak tiga dianggap sebagai kejadian gagal. Artinya, pelemparan itu juga bisa menghasilkan dua kemungkinan saja.
Contoh Distribusi Binomial
Josel melemparkan uang koin sebanyak 12 kali. Berapakah peluang muncul gambar sebanyak 8 kali?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 12
x = 8
Ditanya: P(x = 8) =…?
Jawab:
Mula-mula, tentukan dahulu peluang muncul gambar dan angka pada satu pelemparan. Dalam hal ini, Josel mengharapkan muncul gambar, sehingga peluang muncul gambar dinyatakan sebagai p. Sementara peluang muncul angka sebagai q. Oleh karena hanya ada dua kemungkinan, maka peluang muncul angka (q) = ½ dan peluang muncul gambar (p) = ½. Lalu, gunakan rumus distribusi binomial seperti berikut.
Jadi, peluang muncul gambar sebanyak 8 kali dari 12 pelemparan adalah 0,12.
Contoh Soal Distribusi Binomial
Agar kamu semakin paham dengan pembahasan kali ini, yuk simak contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Jika Ani melemparkan dua buah dadu sebanyak 5 kali, berapakah peluang muncul mata dadu berjumlah 8 sebanyak 3 kali pada pelemparan tersebut?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 5 kali
x = 3
Ditanya: P(x = 3) =…?
Jawab:
Mula-mula, buatlah tabel kemungkinan munculnya mata dadu berjumlah 8 pada pelemparan tersebut.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Dari tabel diperoleh bahwa mata dadu berjumlah 8, yaitu {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Dengan demikian, peluangnya adalah:
Sementara, peluang muncul mata dadu yang jumlahnya bukan 8 (q) adalah sebagai berikut.
Jika yang ditanyakan peluang muncul mata dadu berjumlah 8 sebanyak 2 kali pada pelemparan tersebut, maka:
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 8 sebanyak 3 kali pada pelemparan tersebut adalah 0,02.
Contoh Soal 2
Di suatu kotak terdapat 3 bola hijau dan bola kuning. Jika dilakukan pengambilan 1 bola sebanyak 6 kali dengan pengembalian sebelumnya, berapakah peluang terambilnya bola kuning sebanyak 2 kali?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 6
x = 2
total bola = 5
Ditanya: P(x = 2) =…?
Jawab:
Dalam kasus ini, kejadian terambilnya bola kuning dianggap sebagai kejadian sukses (p). Sementara kejadian terambilnya bola hijau dianggap kejadian gagal (q).
Mula-mula, kamu harus menentukan peluang terambilnya bola kuning dan bola hijau, ya.
Selanjutnya, tentukan peluang terambilnya bola kuning sebanyak 2 kali pada 5 kali pengambilan dengan pengembalian.
Jadi, peluang terambilnya bola kuning sebanyak dua kali adalah 0,31.
Contoh Soal 3
Sebagai penyerang atau striker, si A ingin untuk mencetak hattrick (tiga kali gol dalam satu pertandingan). Seandainya si A mendapatkan kesempatan untuk mencetak gol sebanyak 4 kali, tentukan peluang si A untuk mencetak hattrick dengan peluang setiap golnya 3/5!
Pembahasan:
Diketahui:
n = 4
x = 3
p = 3/5
q = 2/5
Ditanya: P(x = 3) =…?
Jawab:
Untuk menentukan peluang hattrick dari 4 kesempatan yang ada, gunakan persamaan distribusi binomial seperti berikut.
Jadi, peluang si A untuk mencetak hattrick adalah 0,345.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!