Hai Quipperian, apakah kamu masih ingat materi tentang matriks? Membahas masalah matriks, jangan ciut nyali dulu ya. Sebenarnya, matriks itu mudah asal kamu giat untuk memahaminya. Saat membahas matriks, ada dua besaran yang tak boleh terlewatkan, yaitu determinan dan invers. Apa sih determinan dan invers matriks itu? Bagaimana pula cara mencarinya? Daripada penasaran, yuk simak artikel selengkapnya!
Pengertian Determinan dan Invers Matriks
Determinan adalah suatu nilai yang bisa ditentukan dari unsur-unsur matriks persegi. Jika bentuknya tidak persegi, tentu tidak bisa ditentukan determinannya. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama, contoh matriks 2 x 2 dan matriks 3 x 3. Lalu, apa yang dimaksud invers matriks? Invers matriks adalah kebalikan dari matriks awal dan dinyatakan sebagai matriks baru. Lalu, bagaimana cara menentukan determinan serta invers?
Cara Menentukan Determinan Matriks
Berikut ini akan dijabarkan cara menentukan determinan untuk beberapa matriks persegi.
1. Cara menentukan determinan matriks 2 x 2
Matriks 2 x 2 adalah matriks yang memiliki jumlah baris 2 dan jumlah kolom 2 seperti berikut.
Cara menentukan determinannya cukup mudah, yaitu sebagai berikut.
- Lakukan perkalian elemen pada diagonal utama, yaitu ad.
- Lakukan perkalian elemen pada diagonal sekunder, yaitu bc.
- Kurangkan hasil perkalian diagonal utama dan diagonal sekunder, ad – bc. Dengan demikian, detP = ad – bc.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Tentukan determinan matriks !
Pembahasan:
Determinan matriks P bisa ditentukan seperti berikut.
2. Cara menentukan determinan matriks 3 x 3
Matriks 3 x 3 adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sebanyak 3. Oleh karena jumlah baris dan kolomnya lebih banyak daripada matriks 2 x 2, maka cara menentukan determinannya juga lebih rumit. Ada beberapa cara yang bisa Quipperian gunakan untuk menentukan determinan matriks ini, yaitu sebagai berikut.
- Metode Sarrus
Metode Sarrus termasuk salah satu metode paling mudah untuk menentukan determinan matriks. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
- Elemen matriks pada kolom ke-1 dan ke-2 ditulis kembali di belakang kolom ke-3.
- Lakukan perkalian menyilang yang melalui tiga elemen ke kanan bawah dimulai dari kolom paling depan (kolom ke-1). Lalu, jumlahkan hasilnya sebagai x1.
- Lakukan perkalian menyilang melalui tiga elemen ke kiri bawah dari kolom paling belakang (kolom ke-5). Lalu, jumlahkan hasilnya sebagai x2.
- Tentukan hasil determinannya dengan mengurangkan x1 dengan x2.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Tentukan determinannya dengan Metode Sarrus!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus menulis kembali kolom ke-1 dan ke-2 di belakang kolom ketiga.
Lalu, lakukan perkalian menyilang dari kolom ke-1 ke arah kanan bawah.
Lakukan langkah yang sama, namun dengan arah yang berlawanan.
Terakhir, kurangkan hasil x1 dan x2.
Jadi, determinan P adalah -12.
- Metode reduksi baris
Metode reduksi adalah metode yang dilakukan dengan membuat elemen matriksnya berbentuk segitiga, umumnya segitiga atas seperti berikut.
Segitiga atas yang dimaksud adalah nilai 0 di elemen a21, a31, dan a32. Jika kamu mendapatkan perintah untuk menggunakan metode reduksi baris, pastikan bahwa elemen-elemen tersebut bernilai 0. Lantas, bagaimana jika nilai awalnya tidak 0? Maka kamu harus mengoperasikan elemen antarbarisnya sedemikian sehingga nilai pada elemen a21, a31, dan a32 bernilai 0. Operasi antarbaris juga meliputi pertukaran antarbaris, misal baris ke-1 ditukar dengan baris ke-3. Jika terjadi pertukaran baris, kamu harus mengalikan matriks itu dengan (-1). Perhatikan contoh berikut.
Tentukan determinannya dengan metode reduksi baris!
Pembahasan:
Di matriks tersebut sudah ada baris yang bernilai 0, yaitu pada a12.
Kamu bisa menukarkan baris ke-1 dan baris ke-3 untuk memudahkan operasi bilangan di setiap elemen.
Langkah selanjutnya adalah mengoperasikan sedemikian sehingga elemen a21 = 0, yaitu dengan melakukan penjumlahan antara B2 (baris 2) dengan 4 kali B1 (baris 1).
- Metode minor kofaktor
Metode minor kofaktor adalah metode penentuan determinan matriks menggunakan minor kofaktor matriks. Mungkin, kamu lebih mengenalnya dengan metode tutup baris kolom. Secara matematis, rumus determinan matriks dengan minor kofaktor adalah sebagai berikut.
Dengan C = kofaktor ke-ij dan M = minor ke-ij.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan determinannya dengan metode minor kofaktor.
Mula-mula, kamu harus mencari C11, C12, dan, C13 seperti berikut.
Nilai C11
Diperoleh:
Nilai C12
Diperoleh:
Nilai C13
Diperoleh:
Dengan demikian, determinan P dirumuskan sebagai berikut.
Ternyata, hasil determinan P yang diperoleh dari metode Sarrus, metode reduksi baris, dan metode minor kofaktor sama lho. Untuk mengerjakan soal-soal serupa, pilihlah metode yang kamu anggap lebih mudah, ya. Cara di atas juga bisa diterapkan pada matriks ordo 4 x 4. Namun, pembahasan lengkap tentang determinan matriks 4 x 4 akan kamu jumpai di bangku perguruan tinggi. ☺
Cara Menentukan Invers Matriks
Sama seperti determinan, untuk menentukan invers matriks, kamu bisa menggunakan beberapa metode. Salah satu metodenya melibatkan nilai determinan. Lantas, bagaimana cara menentukan invers matriks?
- Cara menentukan invers matriks 2 x 2
Untuk menentukan invers matriks 2 x 2 hanya ada satu cara, yaitu dengan persamaan berikut.
Adjoin P diperoleh dengan menukar elemen matriks a11 dan a22, lalu mengalikan elemen matriks a12 dan a21 dengan (-1). Perhatikan contoh berikut.
Tentukan invers matriks P berikut.
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus menentukan determinan matriksnya.
Selanjutnya, tentukan adjoin P.
Dengan demikian, invers matriks P bisa dinyatakan sebagai berikut.
- Cara menentukan invers matriks 3 x 3
Invers matriks 3 x 3 bisa ditentukan dengan dua cara, yaitu adjoin dan OBE (operasi baris elementer). Apa perbedaan antara kedua cara itu?
- Metode adjoin
Cara menentukan matriks 3 x 3 dengan adjoin dilakukan dengan mencari semua kofaktor di setiap elemen matriksnya. Cara mencari kofaktor sama dengan cara sebelumnya, yaitu dengan menutup baris dan kolom. Perhatikan contoh berikut.
Tentukan invers matriks P tersebut dengan metode adjoin!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mencari C11, C12, C13, sampai C33 seperti berikut.
Nilai C11
Diperoleh:
Nilai C12
Diperoleh:
Nilai C13
Diperoleh:
Nilai C21
Diperoleh:
Nilai C22
Diperoleh:
Nilai C23
Diperoleh:
Nilai C31
Diperoleh:
Nilai C32
Diperoleh:
Nilai C33
Diperoleh:
Dengan demikian, kofaktor matriks P adalah sebagai berikut.
Lalu, tentukan adjoin matriks P dengan mengubah elemen baris menjadi kolom seperti berikut.
Jadi, invers matriks P adalah sebagai berikut.
Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham?
- Metode OBE (operasi baris elementer)
Cara ini hampir sama dengan metode reduksi baris pada determinan. Bedanya, kamu harus mengarahkan matriksnya menjadi matriks identitas. Persamaan umum untuk menyelesaikan metode obe ini adalah sebagai berikut.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan invers matriks tersebut dengan metode obe!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus menentukan persamaan umumnya seperti berikut.
Dari langkah yang sedemikian panjang, diperoleh invers matriks P yaitu sebagai berikut.
Ternyata, hasil inversnya sama dengan invers matriks cara adjoin. Namun, cara OBE ini lebih panjang dan rumit. Dalam penerapannya, Quipperian bisa memilih cara yang dianggap lebih mudah, ya.
Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham bagaimana cara menentukan determinan dan invers matriks?
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk materi lengkapnya, bisa Quipperian lihat di Quipper Video. Yuk, buruan gabung biar ujian jadi lebih siap! Salam Quipper!