Hai Quipperian, apakah kamu masih ingat pembahasan Quipper Blog sebelumnya tentang barisan aritmatika? Hayo, apa yang dimaksud barisan aritmatika ya? Yapp, benar sekali. Barisan aritmatika itu adalah barisan yang memiliki selisih yang sama antar sukunya. Nah, pada artikel ini, Quipper Blog juga akan membahas tentang barisan aritmatika, tapi aritmatika bertingkat. Gak usah takut, materinya mudah kok. Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Aritmatika Bertingkat
Barisan aritmatika bertingkat adalah suatu barisan aritmatika khusus yang memiliki selisih tidak tetap pada suku tingkat pertamanya, tapi memiliki selisih tetap pada suku tingkat ke-n, di mana n lebih besar dari 1. Adapun contoh barisan aritmatika bertingkat adalah sebagai berikut.
2, 5, 10, 17, 26
Coba perhatikan barisan tersebut, selisih antar suku pada tingkat pertamanya tidak tetap, kan? Itulah mengapa, barisan tersebut dikatakan sebagai barisan aritmatika bertingkat. Lalu, mengapa disebut aritmatika bertingkat? Ikuti pembahasannya sampai akhir, ya!
Jenis-Jenis Aritmatika Bertingkat
Jenis barisan aritmatika bertingkat itu dimulai dari tingkat paling mudah, yaitu tingkat satu hingga tingkat ke-n, di mana n bisa sampai tak berhingga. Namun, pada artikel ini, Quipper Blog hanya akan membahas aritmatika bertingkat dua dan aritmatika bertingkat tiga. Ingin tahu selengkapnya?
Aritmatika Bertingkat Dua
Aritmatika bertingkat dua adalah aritmatika yang selisih tetapnya berada di barisan tingkat keduanya. Nah, barisan tingkat kedua itu diperoleh dari selisih barisan tingkat pertama.
Persamaan umum aritmatika bertingkat dua
Persamaan umum aritmatika bertingkat merupakan persamaan polinom derajat dua. Secara matematis, persamaan umum aritmatika bertingkat dua adalah sebagai berikut.
Rumus Aritmatika Bertingkat Dua
Un = an2 + bn c
Dengan :
Un = suku ke-n;
a, b = koefisien yang harus dicari nilainya
c = konstanta yang harus dicari nilainya
n = posisi suku
Lalu, bagaimana cara menentukan nilai a, b, dan c? Yuk ikuti langkah berikut.
Mula-mula, buatlah barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, caranya substitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke persamaan umum aritmatika bertingkat dua.
Untuk n = 1
U1 = an + bn + c = a(1)2 + b(1) + c = a + b + cUntuk n = 2
U2 = an2 + bn + c = a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + cUntuk n = 3
U3 = an2 + bn + c = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + cUntuk n = 4
U3 = an2 + bn + c = a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + cLalu, susun suku-suku tersebut dalam bentuk deret seperti berikut.
Dari suku-suku di atas, tentukan selisih tingkat pertama hingga keduanya seperti berikut.
Di suku tingkat kedua, baru diperoleh selisih yang tetap, yakni 2a
Coba kamu perhatikan suku-suku yang berada di dalam tanda kotak putus-putus. Persamaan suku itu bisa kamu jadikan SUPER “Solusi Quipper” untuk mencari nilai a, b, dan c pada soal.
Contoh aritmatika bertingkat dua
Lalu, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari aritmatika bertingkat dua? Simak contoh berikut ini.
Tentukan suku ke-10 dari barisan berikut.
2, 5, 10, 17, 26, 37, …, ….
Pembahasan:
Dari barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37 mula-mula tentukan selisih setiap suku pada tingkat pertamanya.
Penjabaran di atas menunjukkan bahwa selisih setiap suku pada tingkat pertamanya berbeda-beda, yaitu 3, 5, 7, 9, 11. Nah, selisih suku di tingkat pertama itu, bisa kamu jadikan barisan aritmatika tingkat pertama.
Dari barisan tingkat pertama itu, apa yang bisa kamu simpulkan? Ternyata, suku-suku di tingkat kedua itu memiliki selisih yang tetap seperti penjabaran berikut.
Jika kamu diminta untuk menentukan suku ke-10, tentu cara seperti di atas kurang efektif, ya. Mengingat, banyak angka yang harus kamu jumlahkan. Agar kamu semakin mudah dalam menentukan suku ke-n, gunakan persamaan umum aritmatika bertingkat dua. Caranya, tentukan dahulu koefisien a, b, dan konstanta c menggunakan persamaan SUPER “Solusi Quipper” yang telah dijabarkan sebelumnya.
Dengan demikian, diperoleh hubungan seperti berikut.
a + b + c = 2 …(1)
3a + b = 3 …(2)
2a = 2 …(3)
Dari persamaan di atas, kamu bisa menentukan nilai a, b, dan c seperti berikut.
Nilai a
2a = 2
⇔ a = 1
Nilai b
Substitusikan nilai a = 1 ke persamaan (2)
3a + b = 3
⇔ 3(1) + b = 3
⇔ b = 0
Nilai c
Substitusikan nilai a dan b ke persamaan (1)
a + b + c = 2
⇔ 1 + 0 + c = 2
⇔ c = 1
Dengan demikian, persamaan umum barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37 adalah sebagai berikut.
xn = an2 + bn + c
= n2 + 1
Jika kamu diminta untuk menentukan suku ke-10, maka hasilnya adalah:
Un = n2 + 1
⇔ U10 = 102 + 1
⇔ U10 = 101
Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 101.
Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham? Tenang, masih ada satu sesi lagi, yakni aritmatika bertingkat tiga. Yuk, tetap semangat!
Aritmatika Bertingkat Tiga
Aritmatika bertingkat tiga adalah barisan aritmatika yang selisih tetapnya berada di barisan tingkat ke-3. Konsep dasar aritmatika bertingkat tiga hampir sama dengan aritmatika bertingkat dua. Hanya saja, persamaan umum keduanya berbeda.
Persamaan umum aritmatika bertingkat tiga
Persamaan umum aritmatika bertingkat tiga merupakan persamaan polinom derajat tiga. Secara matematis, persamaan umum aritmatika bertingkat tiga adalah sebagai berikut.
Rumus Aritmatika Bertingkat Tiga
Un = an3 + bn2 + cn + d
Dengan:
Un = suku ke-n
a, b, c = koefisien yang harus dicari nilainya
d = konstanta yang harus dicari nilainya
n = posisi suku
Sama seperti aritmatika bertingkat dua, untuk memudahkanmu dalam menentukan suku ke-n barisan aritmatika bertingkat tiga, tentukan dahulu persamaan dasar suku pertama di setiap tingkat barisan. Persamaan tersebut memuat variabel a, b, c, dan d.
Mula-mula, buatlah barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, caranya substitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke persamaan umum aritmatika bertingkat dua.
Untuk n = 1
U1 = an3 + bn2 + cn + d = a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = a + b + c + dUntuk n = 2
U2 = an3 + bn2 + cn + d = a(2)3 + b(2)2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + dUntuk n = 3
U3 = an3 + bn2 + cn + d = a(3)3 + b(3)2 + c(3) + d = 27a + 9b + 3c + dUntuk n = 4
U4 = an3 + bn2 + cn + d = a(4)3 + b(4)2 + c(4) + d = 64a + 16b + 4c + dUntuk n = 5
U5 = an3 + bn2 + cn + d = a(5)3 + b(5)2 + c(5) + d = 125a + 25b + 5c + dUntuk n = 6
U6 = an3 + bn2 + cn + d = a(6)3 + b(6)2 + c(6) + d = 216a + 36b + 6c + dLalu, susun suku-suku tersebut dalam bentuk deret seperti berikut.
Barisan di atas menunjukkan bahwa selisih tetapnya diperoleh pada barisan tingkat ketiganya. Persamaan suku-suku pertama di setiap tingkat berada di dalam tanda putus-putus. Persamaan tersebut merupakan SUPER “Solusi Quipper” untuk menentukan nilai a, b, c, dan d.
Contoh aritmatika bertingkat tiga
Lalu, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari aritmatika bertingkat tiga? Simak contoh berikut ini.
7, 10, 14, 23, 41, 72, 120
Tentukan suku ke-23 dari barisan di atas!
Pembahasan :
Langkah pertama, tentukan selisih suku pada barisan tingkat pertama.
Selisih suku di tingkat pertamanya berbeda-beda. Jadikan selisih suku tersebut sebagai barisan tingkat pertama, lalu tentukan selisih tingkat keduanya.
Sampai tingkat kedua, ternyata selisihnya masih berbeda-beda. Jadikan selisih barisan tingkat dua tersebut sebagai barisan tingkat kedua, lalu tentukan kembali selisihnya.
Ternyata, selisih tetapnya diperoleh pada tingkat ketiga. Lalu, bagaimana jika kamu diminta untuk menentukan suku ke-23? Suku ke-n bisa kamu tentukan dengan persamaan umum aritmatika bertingkat tiga.
Dari hubungan di atas, diperoleh persamaan seperti berikut.
a + b + c + d = 7 …(1)
7a + 3b + c = 3 …(2)
12a + 2b = 1 …(3)
6a = 4 …(4)
Dari persamaan di atas, tentukan nilai a, b, c, dan d.
Nilai a
6a = 4
⇔ a = 2/3
Nilai b
Substitusikan nilai a = 2/3 ke persamaan (3)
12a + 2b = 1
⇔ 12(2/3) + 2b = 1
⇔ 2b = -7
⇔ b = -7/2
Nilai c
Substitusikan nilai a dan b ke persamaan (2).
Nilai d
Substitusikan nilai a, b, dan c ke persamaan (1).
Dengan demikian, persamaan umum barisan 7, 10, 14, 23, 41, 72, 120 adalah sebagai berikut.
Selanjutnya, tentukan suku ke-23 atau U23.
Jadi, suku ke-23 adalah 6.464.
Tanpa adanya rumus barisan aritmatika bertingkat tiga, pasti kamu akan kesulitan menentukan suku ke-23nya. Hal itu karena, semakin besar posisi suku, semakin banyak pula angka yang harus kamu jumlahkan. Lalu, bagaimana seandainya Quipperian ingin mencoba aritmatika bertingkat empat atau lima? Tak usah khawatir, kamu bisa menggunakan persamaan umum berikut ini.
Persamaan Umum Aritmatika Bertingkat
Persamaan umum aritmatika bertingkat tergolong sebagai persamaan derajat polinom, di mana suku tertingginya menunjukkan tingkat maksimum barisannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel persamaan umum berikut.
| Tingkat | Persamaan umum |
|---|---|
| 1 | Un = an + b |
| 2 | Un = an2 + bn + c |
| 3 | Un = an3 + bn2 + cn + d |
| 4 | Un =an4 + bn3 + cn2 + dn + e |
| 5 | Un = an5 + bn4 + cn3 + dn2 + en + f |
Tabel di atas menunjukkan bahwa semakin besar nilai n, semakin panjang pula langkah yang harus dilalui. Dengan langkah yang sama, kamu bisa mencoba aritmatika derajat empat atau lima.
Ternyata, aritmatika bertingkat itu perlu ketelitian dan kejelian ya Quipperian. Agar kamu semakin paham, sering-seringlah berlatih soal, ya.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!