Hai Quipperian, di pembahasan sebelumnya Quipper Blog sudah pernah membahas tentang bilangan berpangkat. Apakah kamu masih ingat pembahasannya? Pada pembahasan ini, Quipper Blog akan mengajak Quipperian untuk membahas kebalikan dari bilangan berpangkat. Hayo tebak, kira-kira apa ya? Yapp benar sekali. Kebalikan bilangan berpangkat itu adalah bilangan yang diakarkan atau akar Matematika. Lalu, apa yang dimaksud akar Matematika itu? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Akar Matematika
Akar matematika merupakan bentuk penulisan suatu bilangan yang berada di dalam tanda akar (√). Bilangan yang diakarkan merupakan kebalikan dari bilangan berpangkat. Bilangan akar bisa dijadikan bilangan berpangkat, namun pangkatnya harus berupa pecahan. Itulah mengapa, bilangan ini merupakan kebalikan dari bilangan berpangkat. Contoh:
- Bilangan berpangkat = 32
- Bilangan akar = 31/2
Dari contoh di atas, terlihat kan jika pangkat bilangan berakar merupakan kebalikan dari bilangan pangkatnya. Eitss, yang dimaksud kebalikan itu adalah kebalikan pangkatnya, ya. Jika pangkat awalnya 2, maka kebalikannya ½. Contoh penulisan 31/2 dalam bentuk akar adalah √3
Bentuk Umum Akar Matematika
Pengakaran suatu bilangan rasional akan menghasilkan dua kemungkinan bilangan, yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional. Namun demikian, bentuk penulisan akarnya tetap sama. Adapun bentuk umum akar Matematika adalah sebagai berikut.
n√pm dengan syarat p >0 dan n > 0
Dengan:
p = bilangan pokok;
m = pembilang pada pangkat; dan
n = penyebut pada pangkat.
Jika n√pm dijadikan bentuk bilangan berpangkat, maka akan menjadi p m/n
Hasil Akar Matematika
Seperti pada pembahasan sebelumnya jika pengakaran suatu bilangan bisa menghasilkan bilangan rasional dan irasional. Seperti apa contohnya?
Hasil Akar Berupa Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah semua bilangan yang bisa dijadikan bentuk pecahan ab. Pengakaran suatu bilangan akan menghasilkan bilangan rasional jika bilangan yang diakarkan merupakan bilangan kuadrat. Misalnya:
Dari tiga contoh di atas, semua bilangan yang diakarkan merupakan bilangan kuadrat, ya.
Hasil Akar Berupa Bilangan Irasional
Bilangan irasional merupakan kebalikan dari bilangan rasional, yaitu semua bilangan yang tidak bisa diubah dalam bentuk pecahan a/b. Contoh bilangan irasional adalah √2, √3, √6 π , dan sebagainya. Nah, akar dari bilangan rasional yang menghasilkan bilangan irasional semacam ini disebut sebagai bentuk akar.
Operasi Akar Matematika
Bilangan yang berada di dalam tanda akar bisa dioperasikan seperti halnya bilangan bulat biasa. Operasi itu meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, hingga pembagian. Lalu, bagaimana bentuk operasi bilangan di dalam akar?
Operasi Penjumlahan Dua Akar
Dua bilangan berakar bisa dijumlahkan dengan syarat bilangan pokoknya sama atau akarya sejenis. Jika akarnya tidak sejenis, maka tidak bisa dilakukan penjumlahan. Perhatikan contoh di bawah ini.
- 2√5 + √5 = 3√5
- 2√5 + 5 = – – – –
Dua bilangan pada nomor (1) bisa dijumlahkan karena keduanya sama-sama memiliki akar yang sama, yaitu √5. Sementara dua bilangan pada nomor (2) tidak bisa dijumlahkan karena keduanya tidak memiliki akar yang sama. Jika dinyatakan secara matematis, operasi penjumlahan ini memenuhi sifat berikut.
a√p + b√p = (a + b)√p
Operasi Pengurangan Dua Akar
Dua atau lebih bilangan berakar bisa dikurangkan jika keduanya memiliki bilangan pokok yang sama atau akarnya sejenis. Untuk lebih jelasnya, simak contoh ini.
- 6√3 – 2√3 = 4√3
- 2√3 – 3√2 = _ _ _
Pada persamaan (1) berlaku operasi pengurangan karena kedua bilangan yang dikurangkan memiliki bentuk akar yang sama, yaitu √3. Sementara itu, persamaan (2) memiliki akar yang berbeda, yakni √3 dan √2. Jika bilangan pokoknya tidak sama, maka tidak bisa berlaku pengurangan maupun penjumlahan. Secara matematis, operasi pengurangan memenuhi sifat berikut.
a√p – b√p = (a – b)√p
Operasi Perkalian Dua Akar
Jika dibandingkan penjumlahan dan pengurangan, operasi perkalian bersifat lebih fleksibel. Artinya, perkalian bisa dilakukan antarakar yang bilangan pokoknya berbeda. misalnya √3 × √2 = √6, 2√3 × √7 = 2√21, dan seterusnya. Berikut ini merupakan sifat-sifat perkalian pada akar.
Agar semakin paham, perhatikan contoh.
Diketahui operasi perkalian akar seperti di bawah ini.
3√2 x 5 3√3
Tentukah hasilnya!
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan operasi akar di atas, gunakan sifat kedua.
Jadi, hasilnya adalah 5∛6.
Operasi Pembagian Dua Akar
Jika kamu diminta untuk melakukan pembagian antara dua akar yang sama, tentu mudah, kan? Tapi, bagaimana jika kedua akarnya berbeda? Jika dua akar yang berbeda mengalami pembagian, akan berlaku sifat-sifat berikut ini.
Untuk mengasah pemahamanmu, yuk intip dulu contoh soalnya.
Sederhanakanlah akar di bawah ini.
Pembahasan:
Soal di atas bisa diselesaikan dengan sifat pembagian pertama, yaitu:
Jadi, bentuk sederhana dari akar pada soal adalah 6.
Cara Merasionalkan Akar pada Pecahan
Pernahkah kamu menemui pecahan yang penyebutnya berupa akar? Keberadaan akar di bagian penyebut bisa dirasionalkan atau dihilangkan tanda akarnya dengan mengalikan pecahan tersebut dengan akar sekawannya. Contoh:
memiliki akar sekawan
memiliki akar sekawan
memiliki akar sekawan
Jika di bagian penyebut hanya memuat satu akar, maka akar sekawannya juga memuat satu akar yang sama di bagian pembilang dan penyebut.
Jika di bagian penyebut memuat operasi penjumlahan/pengurangan akar, maka akar sekawannya berupa bilangan yang sama, namun berbeda tanda.
Jika operasi penjumlahan/pengurangan di bagian penyebut memuat dua bentuk akar yang tidak sejenis, maka akar sekawannya berupa bentuk akar yang sama, namun tandanya operasinya berbeda.
Ingat, jika suatu bentuk akar dikali dengan akar yang sama, maka tanda akarnya akan hilang. Misalnya: √2 × √2 = 2, 3√2 × √2 = 3(2) = 6, dan seterusnya.
Dari contoh di atas, apa yang bisa kamu simpulkan dari akar sekawan? Buat PR, ya.
Cobalah untuk merasionalkan bentuk pecahan di bawah ini.
Pembahasan:
Untuk menyelesaikannya, gunakan bentuk pecahan berikut.
Setelah kamu kalikan akar sekawannya, tanda akar di bagian penyebut akan hilang. Lalu, bagaimana dengan tanda akar di bagian pembilang? Tanda akar di bagian pembilang tidak perlu dirasionalkan, ya.
Contoh Soal Akar Matematika
Apakah kamu sudah paham materi tentang akar Matematika ini? Bila sudah, yuk kerjakan contoh soal bareng Quipper Blog!
Contoh Soal 1
Hasil penjabaran dari √54 – √3 memenuhi bentuk p√q – √r. Berapakah nilai 2p + q – r?
Pembahasan:
Mula-mula, lakukan penjabaran sedemikian sehingga memenuhi bentuk p√q – √r.
Dari persamaan di atas, diperoleh:
p = 3
q = 6
r = 3
Jadi, nilai 2p + q – r = 2(3) + 6 – 3 = 9
Contoh Soal 2
Suatu bangun persegipanjang memiliki panjang (3 + √2) cm dan lebar 3/√2 cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut
Diketahui:
p = (3 + √2) cm
l = 3 / √2 cm
Ditanya: L =…?
Jawab:
Untuk mencari luas, gunakan persamaan luas persegi panjang, ya.
Ternyata, luas persegipanjangnya berupa pecahan dengan bentuk akar di bawahnya. Langkah selanjutnya, rasionalkan bentuk pecahan luasnya.
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah 
Contoh Soal 3
Sederhanakanlah bentuk akar di bawah ini.
Pembahasan:
Soal di atas bisa diselesaikan dengan menguraikan dahulu bilangan-bilangan yang
berada di dalam tanda akar. Misalkan, 
sebagai x, sehingga diperoleh:
Jadi, bentuk sederhana dari 
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa menambah wawasan Quipperian. Ingin mendapatkan materi lengkapnya? Yuk, buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!